Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 37 стр.

                xq = 2 x p ′ − x p , y q = 2 y p ′ − y p , z q = 2 z p ′ − z p .

      Замечание. Аналогично решается задача о нахождении координат точки,
симметричной данной относительно плоскости.
       Пример. Найти координаты точки Q , симметричной точке P(2,−1,2)
относительно прямой

                                     x −1 y z +1
                                         = =     .
                                       1  0 −2

      Решение.
      1. Найдем проекцию точки P на данную прямую, т.е. точку P ′ .
      Для этого:
      а) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P
перпендикулярной данной прямой. В качестве нормального вектора n этой
плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой n = a = {1,0,−2}.
Тогда

                1( x − 2 ) + 0( y + 1) − 2( z − 2 ) = 0 ⇒ x − 2 z + 2 = 0 ;

         б) Найдем точку пересечения заданной прямой и плоскости
x − 2 z + 2 = 0. Для этого запишем уравнение прямой в параметрической форме:

                                        x = t + 1,
                                       
                                        y = 0,
                                        z = −2t − 1.
                                       

         Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости, находим
значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и
плоскости: t 0 = −1
         в) Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение
t 0 = −1, получаем

                                x p′ = 0, y p′ = 0, z p′ = 1.

      Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости      и,
следовательно, проекция точки P на прямую есть P ′(0,0,1).
      2. Координаты точки Q , симметричной P относительно прямой,
определяются из условий (9):

                                  x q = 2 x p′ − x p = −2,

                                                                                   37