Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

29
()()
(
)
(
)
(
)( )
.0
012012012
=−
−
+
−
−
+
−− zzzzyyyyxxxx
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
()
210
3,5,2 MMM ⊥− , где точки
21
, MM имеют координаты
()()
.4,7,9,1,8,7 −
Решение.
1. В качестве нормального вектора плоскости
n выбираем вектор
}.5,1,2{
21
−=MM
2. Составляем уравнение плоскости (4.7) с нормальным вектором
},5,1,2{ −=n проходящей через
(
)
:3,5,2
0
−
M
()
(
)
(
)
.0355122
=
+
+
−
−
− zyx
Ответ: Уравнение плоскости 01652
=
+
+
−
zy
x
.
Задача 9
Постановка задачи. Найти угол между плоскостями
0,0
22221111
=+
+
+
=
+
+
+ DzCyBxADzCyBxA
.
План решения. Двугранный угол между плоскостями равен углу между
их нормальными векторами
}.,,{},,,{
22221111
CBAnCBAn
=
=
Поэтому угол
ϕ
между плоскостями определяется равенством
(
)
.
,
cos
21
21
nn
nn
⋅
=
ϕ
Пример. Найти угол между плоскостями
.035,0722
=
−
+
=
−
−+ y
x
zy
x
Решение. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их
нормальными векторами
}2,2,1{
1
−
=n и }.0,1,1{
2
=
n Поэтому угол
ϕ
между
плоскостями определяется равенством 
                   (x2 − x1 )(x − x0 ) + ( y 2 − y1 )( y − y 0 ) + (z 2 − z1 )(z − z 0 ) = 0.
       Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
 M 0 (2, 5, − 3) ⊥ M 1M 2 , где точки M 1 , M 2 имеют координаты (7, 8, − 1), (9, 7, 4 ).



        Решение.
        1. В качестве нормального вектора плоскости n выбираем вектор
M 1M 2 = {2,−1,5}.
        2. Составляем уравнение плоскости (4.7) с нормальным вектором
n = {2, − 1, 5}, проходящей через M 0 (2, 5, − 3) :

                             2( x − 2) − 1( y − 5) + 5( z + 3) = 0.

      Ответ: Уравнение плоскости 2 x − y + 5 z + 16 = 0 .

                                Задача 9
      Постановка задачи. Найти угол между плоскостями

                             A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

      План решения. Двугранный угол между плоскостями равен углу между
их нормальными векторами

                n1 = { A1 , B1 , C1}, n2 = { A2 , B2 , C2 }.

      Поэтому угол ϕ между плоскостями определяется равенством


                             cos ϕ =
                                       (n1, n2 ) .
                                       n1 ⋅ n2

      Пример. Найти угол между плоскостями

                             x + 2 y − 2 z − 7 = 0, x + y − 35 = 0.

      Решение. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их
нормальными векторами n1 = {1,2,−2} и n2 = {1,1,0}. Поэтому угол ϕ между
плоскостями определяется равенством




                                                                                                29

Страницы