Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

27
[]
()()
.2882412,
2
22
3121
=+−+−=AAAA
4. Находим высоту h по формуле (5):
()
[]
11
28
308
,
,,
3121
413121
===
AAAA
AAAAAA
h (ед.длины)
Ответ:
3
154
.
=
т
V (ед.длины)
3
, 11
=
h (ед.длины).
Задача 7
Постановка задачи. Найти расстояние от точки
()
0000
,, zyxM до
плоскости, проходящей через точки
(
)
(
)( )
.,,,,,,,,
333322221111
zyxMzyxMzyxM
План решения. Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с
вершинами
()()
(
)
(
)
,,,,,,,,,,,,
3333322211110000
zyxMzyxMzyxMzyxM опущенную
из вершины
()
0000
,, zyxM на грань
321
MMM (см. задачу 6). Другое решение
заключается в следующем.
Расстояние d от точки
(
)
0000
,, zyxM
до плоскости равно длине
проекции вектора
01
MM на нормальный вектор плоскости
n
, т.е.
(
)
n
MMn
MMПРd
n
01
01
,
== . (6)
Поскольку нормальный вектор плоскости
n ортогонален векторам
3121
, MMMM , его можно найти как их векторное произведение:
[
]
.,
3121
MMMMn
=
1. Находим координаты векторов:
},,{
},,,{},,,{
10101001
1313133112121221
zzyyxxMM
zzyyxxMMzzyyxxMM
−−−=
−−−=−−−=
и нормального вектора плоскости:
[]
.,
131313
1212123121
zzyyxx
zzyyxx
kji
MMMMn
−−−
−−−== 
                                 [A1 A2 , A1 A3 ]   =       (− 12)2 + (− 24)2 + 82        = 28.

         4. Находим высоту h по формуле (5):

                               ( A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ) 308
                          h=                            =    = 11 (ед.длины)
                                   [A1 A2 , A1 A3 ]       28

                             154
         Ответ: Vт. =            (ед.длины)3, h = 11 (ед.длины).
                              3

                                                 Задача 7
      Постановка задачи. Найти расстояние от точки M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) до
плоскости, проходящей через точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ), M 3 ( x3 , y3 , z 3 ).
      План решения. Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с
вершинами M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ), M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y 2 , z 3 ), M 3 ( x3 , y3 , z 3 ), опущенную
из вершины M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) на грань M 1M 2 M 3 (см. задачу 6). Другое решение
заключается в следующем.
      Расстояние d от точки M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) до плоскости равно длине
проекции вектора M 1 M 0 на нормальный вектор плоскости n , т.е.

                                                (n , M 1M 0 )
                        d = ПРn M 1M 0 =                          .                                        (6)
                                                        n

        Поскольку нормальный вектор плоскости n ортогонален векторам
M 1M 2 , M 1M 3 , его можно найти как их векторное произведение:

                                           n = [M 1M 2 , M 1M 3 ].

                  1. Находим координаты векторов:

           M 1M 2 = {x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1}, M 1M 3 = {x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1},
           M 1M 0 = {x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1}

и нормального вектора плоскости:

                                                            i            j         k
                         n = [M 1M 2 , M 1M 3 ] = x2 − x1             y2 − y1   z 2 − z1 .
                                                        x3 − x1       y3 − y1   z3 − z1
                                                                                                             27

Страницы