Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

24
Решение.
1. Вычисляем
[]
ba,, используя свойства векторного произведения
[]
[
]
[
]
[
] []
[
]
.,2,4,3,62,23, qqpqqpppqpqpba
−
+
−
=
−
+
=
2. Вычисляем модуль векторного произведения
[] [][]
.242
4
3
sin7,7,7, ===−=
π
qpqpqpba
3.Находим площадь параллелограмма, используя формулу (2)
[]
.242, == baS
Ответ: .242=S
Задача 5
Постановка задачи. Компланарны ли векторы
?},,{},,,{},,,{
321321321
ccccbbbbaaaa ===
План решения. Для того, чтобы три вектора были компланарны (лежали
в одной плоскости или в параллельных плоскостях), необходимо и достаточно,
чтобы их смешанное произведение
(
)
cba ,, было равно нулю.
1. Смешанное произведение векторов выражается через их
координаты формулой
()
.,,
321
321
321
ccc
bbb
aaa
cba =
2. Если определитель в правой части этого равенства равен нулю,
то векторы компланарны, если определитель не равен нулю, то векторы
не компланарны.
Пример. Компланарны ли векторы ?}17,11,19{},1,1,2{},6,4,7{ =
=
=
cba
Решение.
1. Вычисляем смешанное произведение векторов:
()
.0
171119
112
647
,, ==cba
2.Так как
()
,0,, =cba то векторы ba, и c компланарны.
Ответ: Векторы ba, и c компланарны. 
       Решение.

       1. Вычисляем [a , b ], используя свойства векторного произведения
                          [a , b ] = [3 p + 2q ,2 p − q ] = 6[ p, p ] − 3[ p, q ] + 4[q , p ] − 2[q , q ].
       2. Вычисляем модуль векторного произведения

                               [a , b ] = − 7[ p, q ] = 7[ p, q ] = 7 p q sin 3π   = 42 2.
                                                                               4

       3.Находим площадь параллелограмма, используя формулу (2)
                      S = [a , b ] = 42 2.

       Ответ: S = 42 2.

                                                 Задача 5
        Постановка                   задачи.              Компланарны ли векторы
a = {a1 , a2 , a3}, b = {b1 , b2 , b3}, c = {c1 , c2 , c3} ?
        План решения. Для того, чтобы три вектора были компланарны (лежали
в одной плоскости или в параллельных плоскостях), необходимо и достаточно,
чтобы их смешанное произведение (a , b , c ) было равно нулю.
                 1. Смешанное произведение векторов выражается через их
                                      координаты формулой

                                              a1 a2      a3
                               (a , b , c ) = b1 b2      b3 .
                                              c1 c2      c3

             2. Если определитель в правой части этого равенства равен нулю,
      то векторы компланарны, если определитель не равен нулю, то векторы
      не компланарны.
       Пример. Компланарны ли векторы a = {7,4,6}, b = {2,1,1}, c = {19,11,17} ?
       Решение.
       1. Вычисляем смешанное произведение векторов:

                                                 7   4     6
                                (a , b , c ) =   2   1     1 = 0.
                                                 19 11 17

       2.Так как (a , b , c ) = 0, то векторы a , b и c компланарны.
       Ответ: Векторы a , b и c компланарны.

24

Страницы