Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

22
},35,13,13{
−
−=
p
}.105,39,39{
−
=
q
2. Так как
,
105
35
39
13
39
13
−
=
−
=
−
координаты пропорциональны. Следовательно, векторы
p
, q коллинеарны.
Ответ: Векторы
p
, q коллинеарны.
Задача 3
Постановка задачи. Даны точки ),,(
111
zyxA , ),,(
222
zyxB , ).,,(
333
zyxC
Найти косинус угла между векторами
A
B
и .
AC
План решения. Косинус угла
ϕ
между векторами
A
B и
AC
определяется формулой
(
)
.
,
cos
ACAB
ACAB
⋅
=
ϕ
(1)
1. Чтобы вычислить длины векторов
AB и AC и скалярное
произведение
(
)
ACAB,, находим координаты векторов:
{
}
121212
,, zzyyxxAB −−−= ,
{
}
131313
,, zzyyxxAC −−−= .
2. По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов
имеем
()()()
2
12
2
12
2
12
zzyyxxAB −+−+−= ,
()()()
2
13
2
13
2
13
zzyyxxAC −+−+−= ,
(
)
()
(
)
(
)
(
)( )( )
131213121312
, zzzzyyyyxxxxACAB −−+−−+−−=
3. Вычисляем
ϕ
cos по указанной формуле и записываем ответ.
Пример. Даны точки )6,4,2(
−
−
A
, )4,2,0(
−
,).10,8,6(
−
−
C
Найти косинус
угла между векторами
A
B и
.
AC
Решение.
1. Находим координаты векторов
{
}
2,2,2 −=AB ,
{}
4,4,4 −−=AC . 
                                   p = {−13,−13,35}, q = {39,39,−105}.

        2. Так как

                                  − 13 − 13    35
                                      =     =       ,
                                   39   39    − 105

координаты пропорциональны. Следовательно, векторы p , q коллинеарны.
      Ответ: Векторы p , q коллинеарны.
                                Задача 3
      Постановка задачи. Даны точки A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y 2 , z 2 ) , C ( x3 , y3 , z3 ).
Найти косинус угла между векторами AB и AC.
      План решения. Косинус угла ϕ между векторами AB и AC
определяется формулой


                                  cos ϕ =
                                            (AB, AC ) .                                            (1)
                                             AB ⋅ AC


        1. Чтобы вычислить длины векторов                             AB         и AC   и скалярное
                 (            )
произведение AB, AC , находим координаты векторов:

                     AB = {x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1}, AC = {x3 − x1 , y3 − y1 , z 3 − z1} .

        2. По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов
имеем

                       AB =       (x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2 ,

                       AC =       (x3 − x1 )2 + ( y3 − y1 )2 + (z3 − z1 )2 ,

                      (AB, AC ) = (x2 − x1 )(x3 − x1 ) + ( y2 − y1 )( y3 − y1 ) + (z 2 − z1 )(z3 − z1 )
        3. Вычисляем cos ϕ по указанной формуле и записываем ответ.
        Пример. Даны точки A(−2,4,−6) , B (0,2,−4) , C (−6,8,−10). Найти косинус
угла между векторами AB и AC.
       Решение.
       1. Находим координаты векторов AB = {2,−2,2}, AC = {− 4,4,−4}.


22

Страницы