Экономико-математические модели управления производством (теоретические аспекты). Ломкова Е.Н - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КТИ ВолгГТУ | Камышин

Составители: 

Рубрика: 

50
6.4. Оптимальное распределение инвестиций
Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n пред-
приятий, доход g
i
(x
i
) от которых, в зависимости от количества вложенных
средств х
i
, определяется матрицей (nхn), приведенной в табл. 6.1, так, что-
бы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.
Таблица 6.1
x
g
i
g
1
g
2
…
g
i
… g
n
x
1
g
1
(x
1
) g
2
(x
1
) g
i
(x
1
) g
n
(x
1
)
x
2
g
1
(x
2
) g
2
(x
2
) g
i
(x
2
) g
n
(x
2
)
x
i
g
1
(x
i
) g
2
(x
i
) g
i
(x
i
) g
n
(x
i
)
x
n
g
1
(x
n
) g
2
(x
n
) g
i
(x
n
) g
n
(x
n
)
Запишем математическую модель задачи.
Определить X* = (х
*
1
, х
*
2
, …, х
*
k
, …, х
*
n
), удовлетворяющий условиям
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
=
∑
=
)2.6(n,...,1i,0x
)1.6(Bx
i
n
1i
i
и обеспечивающий максимум целевой функции
)3.6(max)x(gx)X(F
n
1i
iii
∑
=
→=
Очевидно, эта задача может быть решена простым перебором всех
возможных вариантов распределения В единиц средств по n предприяти-
ям, например на сетевой модели. Однако решим ее более эффективным
методом, который заключается в замене сложной многовариантной зада-
чи многократным решением простых задач с малым количеством иссле-
дуемых вариантов.
С этой целью разобьем
процесс оптимизации на n шагов и будем на
каждом k-м шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а
только предприятий с k-го по n-е. При этом естественно считать, что в
остальные предприятия (с первого по (k–1)-е тоже вкладываются средст-
ва, и поэтому на инвестирование предприятий с k-го по n-е остаются не
все
средства, а некоторая меньшая сумма С
k
≤ В. Эта величина и будет
являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-м
шаге назовем величину х
k
средств, вкладываемых в k-e предприятие. В
качестве функции Беллмана F
k
(C
k
) на k-м шаге можно выбрать макси-
мально возможный доход, который можно получить с предприятий с k-го
по n-е при условии, что на их инвестирование осталось С
k
средств. Оче-
видно, что при вложении в k-e предприятие х
k
средств будет получена
прибыль g
k
(x
k
), а система к (k+1)-му шагу перейдет в состояние S
k+1
и,
следовательно, на инвестирование предприятий с (k+1)-го до n-го оста-
нется С
k+1
= (С
k
– х
k
) средств.
Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k = n 
              6.4. Оптимальное распределение инвестиций
    Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n пред-
приятий, доход gi(xi) от которых, в зависимости от количества вложенных
средств хi, определяется матрицей (nхn), приведенной в табл. 6.1, так, что-
бы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.
                                                              Таблица 6.1
   x         g1          g2          …             gi            …    gn
   gi
   x1       g1(x1)     g2(x1)                    gi(x1)              gn(x1)
   x2       g1(x2)     g2(x2)                    gi(x2)              gn(x2)
   xi       g1(xi)     g2(xi)                    gi(xi)              gn(xi)
   xn       g1(xn)     g2(xn)                    gi(xn)              gn(xn)
    Запишем математическую модель задачи.
    Определить X* = (х*1, х*2, …, х*k, …, х*n), удовлетворяющий условиям
                                      ⎧n
                                      ⎪∑ x i = B                           (6.1)
                                      ⎨i=1
                                      ⎪x ≥ 0, i = 1,..., n                 ( 6. 2 )
                                      ⎩ i
и обеспечивающий максимум целевой функции
                                           n
                                F(X) = ∑ x i g i ( x i ) → max          (6.3)
                                          i =1
     Очевидно, эта задача может быть решена простым перебором всех
возможных вариантов распределения В единиц средств по n предприяти-
ям, например на сетевой модели. Однако решим ее более эффективным
методом, который заключается в замене сложной многовариантной зада-
чи многократным решением простых задач с малым количеством иссле-
дуемых вариантов.
     С этой целью разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на
каждом k-м шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а
только предприятий с k-го по n-е. При этом естественно считать, что в
остальные предприятия (с первого по (k–1)-е тоже вкладываются средст-
ва, и поэтому на инвестирование предприятий с k-го по n-е остаются не
все средства, а некоторая меньшая сумма Сk ≤ В. Эта величина и будет
являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-м
шаге назовем величину хk средств, вкладываемых в k-e предприятие. В
качестве функции Беллмана Fk(Ck) на k-м шаге можно выбрать макси-
мально возможный доход, который можно получить с предприятий с k-го
по n-е при условии, что на их инвестирование осталось Сk средств. Оче-
видно, что при вложении в k-e предприятие хk средств будет получена
прибыль gk(xk), а система к (k+1)-му шагу перейдет в состояние Sk+1 и,
следовательно, на инвестирование предприятий с (k+1)-го до n-го оста-
нется Сk+1 = (Сk – хk) средств.
     Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k = n
                                     50

Страницы