Экономико-математические модели управления производством (теоретические аспекты). Ломкова Е.Н - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КТИ ВолгГТУ | Камышин

Составители: 

Рубрика: 

51
функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предпри-
ятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств
С
n
, 0 ≤ С
n
≤ В. Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия,
можно вложить в него все эти средства, т. е. F
n
(С
n
) = g
n
(С
n
) и х
n
= С
n
.
На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана
необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на k-м ша-
ге для инвестирования предприятий с k-го по n-е осталось С
k
средств (0 ≤
С
k
≤ В). Тогда от вложения в k-e предприятие х
k
средств будет получена
прибыль g
k
(C
k
), а на инвестирование остальных предприятий (с k-го по n-е)
останется С
k+1
= (С
k
– х
k
) средств. Максимально возможный доход, кото-
рый может быть получен с предприятий (с k-го по n-е), будет равен:
)}x-(CF )(x{gmax)(CF
kk1kkk
Cx
kk
kk
+
≤
+
=
, k = 1, …, n (6.4)
Максимум выражения (6.4) достигается на некотором значении х
*
k
,
которое является оптимальным управлением на k-м шаге для состояния
системы S
k
. Действуя таким образом, можно определить функции Белл-
мана и оптимальные управления до шага k = 1.
Значение функции Беллмана F
1
(c
1
) представляет собой максимально
возможный доход со всех предприятий, а значение х
*
1
, на котором достига-
ется максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вло-
женных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации
для всех последующих шагов вычисляется величина С
k
= (С
k-1
– х
k-1
) опти-
мальным управлением на k-м шаге является то значение х
k
, которое обес-
печивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы S
k
.
Пример 1. На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Из-
вестна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, за-
данная значением нелинейной функции g
i
(x
i
), представленной в табл. 6.2.
Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями
таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.
Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств
осуществляется в целых числах x
i
= {0,1,2,3,4,5} млн. руб.
Таблица 6.2
x g
1
g
2
g
3
0 0 0 0
1 2,2 2 2,8
2 3 3,2 5.4
3 4,1 4,8 6,4
4 5,2 6,2 6,6
5 5,9 6,4 6,9
Решение.
I этап. Условная оптимизация.
1-й шаг: k = 3. Предположим, что все средства в количестве x
3
= 5 млн. руб.
отданы третьему предприятию. В этом случае максимальный доход, как
это видно из табл. 6.3, составит g
3
(x
3
) = 6,9 тыс. руб., следовательно: 
функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предпри-
ятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств
Сn, 0 ≤ Сn ≤ В. Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия,
можно вложить в него все эти средства, т. е. Fn(Сn) = gn(Сn) и хn = Сn.
     На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана
необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на k-м ша-
ге для инвестирования предприятий с k-го по n-е осталось Сk средств (0 ≤
Сk ≤ В). Тогда от вложения в k-e предприятие хk средств будет получена
прибыль gk(Ck), а на инвестирование остальных предприятий (с k-го по n-е)
останется Сk+1 = (Сk – хk) средств. Максимально возможный доход, кото-
рый может быть получен с предприятий (с k-го по n-е), будет равен:
              Fk (C k ) = max {g k (x k ) + Fk +1 (C k - x k )} , k = 1, …, n (6.4)
                          x k ≤Ck
     Максимум выражения (6.4) достигается на некотором значении х*k,
которое является оптимальным управлением на k-м шаге для состояния
системы Sk. Действуя таким образом, можно определить функции Белл-
мана и оптимальные управления до шага k = 1.
     Значение функции Беллмана F1(c1) представляет собой максимально
возможный доход со всех предприятий, а значение х*1, на котором достига-
ется максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вло-
женных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации
для всех последующих шагов вычисляется величина Сk = (Сk-1 – хk-1) опти-
мальным управлением на k-м шаге является то значение хk, которое обес-
печивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы Sk.
     Пример 1. На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Из-
вестна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, за-
данная значением нелинейной функции gi(xi), представленной в табл. 6.2.
Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями
таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.
     Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств
осуществляется в целых числах xi = {0,1,2,3,4,5} млн. руб.
                                                             Таблица 6.2
                              x     g1         g2    g3
                              0      0          0     0
                              1     2,2         2    2,8
                              2      3         3,2   5.4
                              3     4,1        4,8   6,4
                              4     5,2        6,2   6,6
                              5     5,9        6,4   6,9
     Решение.
     I этап. Условная оптимизация.
1-й шаг: k = 3. Предположим, что все средства в количестве x3 = 5 млн. руб.
отданы третьему предприятию. В этом случае максимальный доход, как
это видно из табл. 6.3, составит g3(x3) = 6,9 тыс. руб., следовательно:

                                          51

Страницы