ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
ОСЦИЛЛЯТОР – МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ
1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОСЦИЛЛЯТО-
РОВ
1. 1. Вводные замечания и определения
Движение грузика на пружинке, маятника, заряда в элек-
трическом контуре, а также эволюция во времени многих систем
в физике, химии, биологии и других науках при определенных
предположениях можно описать одним и тем же дифференциаль-
ным уравнением, которое в теории колебаний выступает в каче-
стве основной модели. Эта модель называется линейным гармо
-
ническим осциллятором.
Уравнение свободных колебаний гармонического осцилля-
тора имеет вид
2
0
20xxx
γω
+
+=
(1.1)
Здесь — переменная, описывающая состояние системы
(смещение грузика, заряд конденсатора и т.д.),
γ
— параметр,
характеризующий потери энергии (трение в механической систе-
ме, сопротивление в контуре),
0
ω
— собственная частота коле-
баний,
t — время. Точками сверху принято обозначать произ-
водные по врем
()
x
t
ени:
22
/, /
x
dx dt x d x dt==
и т.д.
Уравнение
(1.1) есть линейное однородное дифференци-
альное уравнение второго порядка и оно является примером ли-
нейной динамической системы. Основные понятия теории дина-
мических систем будут рассмотрены позже, здесь же мы обсудим
свойство линейности.
Поведение линейных систем описывается функциональным
уравнением
x
f=
L
, где
L
— линейный оператор,
f
— из-
вестная функция. Оператор
L
называется линейным, если для
