Учебно-методическое пособие по курсу "Математическое моделирование". Часть 1. Осциллятор. Ловецкий К.П - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5
ального уравнения используют также понятие числа степеней
свободы. Оно равно порядку дифференциального уравнения, де-
ленному на два. Уравнению второго порядка соответствует сис-
тема с одной степенью свободы, третьего порядка — с полутора
степенями, четвертого порядка — с двумя, и т.д. Линейный ос-
циллятор — это система с одной степенью свободы.
1. 2. Консервативный осциллятор
При отсутствии потерь в системе ( 0
γ
=
) вместо уравнения
(1.1) получаем уравнение консервативного осциллятора
2
0
0xx
ω
+
=

(1.2)
энергия колебаний которого сохраняется во времени. Такой ос-
циллятор является частным случаем нелинейного консервативно-
го осциллятора
() 0xfx
+
=

, (1.3)
для которого постоянной во времени остается сумма кинетиче-
ской и потенциальной энергий
0
2
()
2
x
КП
x
ax
WW W f d
α
ξξ
=+= +
∫
(1.4)
Коэффициент
α
имеет свой смысл для каждой конкретной
системы. Например, для грузика на пружинке
α
— масса. Диф-
ференцируя
(1.4) по времени, получаем
[
]
() 0Wxfx
α
+=

, т.е.
величина
W действительно не зависит от t .
Чтобы в системе
(1.3) существовали колебания, потенци-
альная энергия
П
W как функция
x
должна иметь локальный ми-
нимум. Считая отклонения осциллятора от точки минимума
0
x
малыми, положим
2
00
() ( ) ( )/2,
ПП
Wx Wx xx
β
≈+−
22
0
()/ 0
П
dW x dx
β
=≠. Используя это выражение в формуле для
полной энергии и приравнивая
W нулю, получаем уравнение
(1.2), причем
2
0
/
ω
βα
= (1.5)
Таким образом, уравнение гармонического осциллятора
получается из общего случая
(1.3) в результате замены функции

Страницы