ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4
любых двух функций
1
()
x
t и
2
()
x
t из области его определения
выполняется условие
()
11 2 2 1 1 2 2
() () () ()Cx t Cx t C x t C x t+= +
LLL
, где
12
,CC — посто-
янные. Из линейности оператора
L
следуют два утверждения,
составляющие содержание принципа суперпозиции.
1) Если
1
()
x
t и
2
()
x
t — два решения уравнения 0x
=
L
, то
их линейная комбинация
11 2 2
() ()Cx t Cx t
+
также являет-
ся решением.
2) Если
1
()
x
t и
2
()
x
t — два решения неоднородного урав-
нения
x
f=
L
,то их разность
12
() () ()
x
txtxt
=
− явля-
ется решением соответствующего однородного уравне-
ния
0x =
L
.
Доказательство этих утверждений формально и просто.
Принцип суперпозиции играет фундаментальную роль во всей
линейной теории колебаний и волн, именно благодаря ему часто
удается построить решение линейной задачи в замкнутом виде.
Большинство колебательных систем подчиняется принципу
суперпозиции только приближенно, при выполнении определен-
ных условий, чаще всего — малости отклонения системы от по-
ложения равновесия. Однако, как показано ниже, не всегда ма-
лость отклонения является достаточным условием линейности
колебаний.
Математическим аппаратом, адекватным задачам теории
колебаний, является теория обыкновенных дифференциальных
уравнений [1–3], а в случае линейных систем — теория линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Уравнения, в которые время не входит явным образом, со-
ответствуют автономным системам. Их параметры
и действую-
щие на них внешние силы не зависят от времени. Гармонический
осциллятор
(1.1) — автономная система.
Порядок дифференциального уравнения определяется сте-
пенью входящей в него старшей производной. Порядок уравне-
ния совпадает с числом независимых начальных условий, кото-
рые необходимо задать в фиксированный момент времени, чтобы
однозначно определить решение. Помимо порядка дифференци-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
