Вычислительный эксперимент и методы вычислений. Ловецкий К.П - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

На этих разностях базируются разделенные разности вто-
рого порядка:
12 01
012
20
(; ) (; )
(;;) ,
f
xx fxx
fx xx
xx
−
=
−
…………………………………………
12
21
2
(;) (; )
(;;)
nn n n
nnn
nn
fx x fx x
fx x x
xx
−−
−−
−
1
,
−
−
=
−
и так далее. Таким образом, если определены k-ые разност-
ные отношения то (k+1)-ые определяются
через них равенством
1
( ; ;...; ),
ii ik
fx x x
−+
1
11
1
( ; ;...; )
( ; ;...; ) ( ; ;...; )
.
ii ik
i i ik i i ik
ik i
fx x x
fxx x fx x x
xx
−+
++ − +−
+−
1
=
−
=
−
(2.5)
Легко проверить, что операция взятия разделенной разно-
сти, как и в случае конечной разности, аддитивна и одно-
родна, то есть линейна. Кроме того, разделенная разность
есть симметрическая функция своих аргументов, что по-
зволяет у разделенной разности менять аргументы местами.
Отсюда приходим к
интерполяционной формуле Ньюто-
на для неравноотстоящих узлов:
001 0
012 0 1
01 0 1 1
() () ( ; )( )
( ; ; )( )( ) ...
... ( ; ;...; )( )( )...( ),
n
nn
fx Px y fx x x x
fxxx xx xx
fxx x xx xx xx
−
≈
=+ − +
−−+
+−−
−
(2.6)
Для произвольной фиксированной точки
x
можно
получить точное равенство
0011
( ) ( ) ( ; ;...; )( )( )...( )( ),
nn nn
f
xPxfxx xxxxx xx xx
−
=+ −− − −
второе слагаемое в котором может рассматриваться в каче-
стве остаточного члена, то есть
01
( ) ( ) ( ) ( ; ;...; ) ( ),
nn nn
R
xfxPxfxx x x
+
=− = ∏ (2.7)
где
1
()
n
x
+
∏ - многочлен, введенный ранее.
21

Страницы