Составители:
Рубрика:
2
Подставим последнее выражение в (1), получим дифференциальное уравнение незатухающих
гармонических колебаний:
0U
L
C
1
dt
Ud
2
2
=+ . (5)
Решением этого уравнения является:
tcosUU
00
ω
=
,
где
0
U - амплитудное значение напряжения, которое не зависит от времени;
0
ω
- собственная частота контура, равная
LC
1
0
=
ω
,
а период собственных незатухающих колебаний:
LC2T
0
π
=
.
Проводники контура всегда обладают электрическим сопротивлением, поэтому часть энергии в процессе
колебаний расходуется на нагрев проводников. Вследствие этого амплитуда электромагнитных колебаний в
контуре постепенно уменьшается, и в нем происходят затухающие колебания. Рассмотрим реальный
колебательный контур, содержащий катушку индуктивности L, конденсатор емкостью С и сопротивление R
(рис.1,в).
По второму правилу Кирхгофа для
такого контура
i
EIRU
=
+
(6)
где
IRU
R
= - напряжение на сопротивлении.
Используя соотношения (2), (3) и (4), уравнение (6) примет вид:
0U
L
C
1
Ldt
RdU
dt
Ud
2
2
=++ (7)
Дифференциальное уравнение (7) описывает затухающие колебания. Его решением является:
tcoseUU
t
0
ω
β
−
= , (8)
где
β
- коэффициент затухания,
ω
- частота затухающих колебаний
L2
R
=
β
, (9)
ω
- циклическая частота затухающих колебаний:
22
0
2
L2
R
LC
1
βωω
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= (10)
при этом
T
2
π
ω
= и
2
(R/2L)-/LC1
2
T
π
= (11)
Изменение напряжения на конденсаторе от времени графически представлено на рис.2
--
++
C
K
L
a)
--
++
C
K
L
б)
--
++
C
R
L
в)
Рис.1
R
K K
+ + L + + L + +
L
C C C
- - - - - -
a) б) в)
Рис.1
Подставим последнее выражение в (1), получим дифференциальное уравнение незатухающих
гармонических колебаний:
d 2U 1
2
+ U =0. (5)
dt LC
Решением этого уравнения является:
U = U 0 cos ω0 t ,
где U 0 - амплитудное значение напряжения, которое не зависит от времени;
ω0 - собственная частота контура, равная
1
ω0 = ,
LC
а период собственных незатухающих колебаний:
T0 = 2π LC .
Проводники контура всегда обладают электрическим сопротивлением, поэтому часть энергии в процессе
колебаний расходуется на нагрев проводников. Вследствие этого амплитуда электромагнитных колебаний в
контуре постепенно уменьшается, и в нем происходят затухающие колебания. Рассмотрим реальный
колебательный контур, содержащий катушку индуктивности L, конденсатор емкостью С и сопротивление R
(рис.1,в).
По второму правилу Кирхгофа для такого контура
U + IR = Ei (6)
где U R = IR - напряжение на сопротивлении.
Используя соотношения (2), (3) и (4), уравнение (6) примет вид:
d 2U RdU 1
2
+ + U =0 (7)
dt Ldt LC
Дифференциальное уравнение (7) описывает затухающие колебания. Его решением является:
U = U 0 e − βt cos ωt , (8)
где β - коэффициент затухания,
ω - частота затухающих колебаний
R
β= , (9)
2L
ω - циклическая частота затухающих колебаний:
2
1 ⎛ R ⎞
ω= −⎜ ⎟ = ω0 − β
2 2
(10)
LC ⎝ 2 L ⎠
при этом
2π 2π
ω= и T= (11)
T 1 /LC - (R/2L) 2
Изменение напряжения на конденсаторе от времени графически представлено на рис.2
2
