Составители:
Рубрика:
3
Если (6) записать в виде
dt
dI
LIR
C
q
−=+
и продифференцировать по времени, то получим уравнение того
же типа, что и уравнение (7)
0I
LC
1
dt
dI
L
R
dt
Id
2
2
=++ , из чего следует, что ток в контуре также совершает
затухающие колебания, для которых значение
β
,
ω
и
T
определяется по формулам (9), (10) и (11).
Из формул (10) и (11) следует, что в контуре возможны затухающие колебания лишь в том случае, если
2
L2
R
LC
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
(частота и период – действительные величины) или
C
L
2R <
. Если
C
L
2R >
, то частота и
период – мнимые, колебаний нет, и происходит апериодический разряд конденсатора (рис.3).
Сопротивление
C
L
2R
Kp
= (12)
называется критическим.
Для характеристики степени затухания колебаний, кроме коэффициента затухания
β
, используется время
релаксации (
τ
), за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз (е=2,7). Из формулы (8) следует, что
отношение
ee
eU
eU
)t(
0
t
0
==
+−
−
βτ
τβ
β
,
тогда
1
=
β
τ
или
β
τ
1
=
;
τ
β
1
=
Логарифмическим декрементом затухания колебаний называется натуральный логарифм отношения двух
амплитудных значений напряжений, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний.
(
)
()
TtU
tU
ln
U
U
ln
120
110
20
10
+
==
λ
(13)
или
20
10
U
U
lg3.2=
λ
(14)
подставим в (13) значения
()
1
t
0110
eUtU
β
−
=
и
)Tt(
0120
1
eU)Tt(U
+−
=+
β
, получим
T
β
λ
=
(15)
или согласно (9)
T
L2
R
=
λ
(16)
или
1
e
N
λ
= ,
I
,
U
0
t
I
U
l
]c[
1
ν
l
T
U
t
U
0
Рис.3
Рис.2
I,U
U
U
T
l
U0
I
t 0 t
l
1
[c]
ν
Рис.2 Рис.3
q dI
Если (6) записать в виде + IR = − L и продифференцировать по времени, то получим уравнение того
C dt
d 2 I R dI 1
же типа, что и уравнение (7) 2
+ + I = 0 , из чего следует, что ток в контуре также совершает
dt L dt LC
затухающие колебания, для которых значение β , ω и T определяется по формулам (9), (10) и (11).
Из формул (10) и (11) следует, что в контуре возможны затухающие колебания лишь в том случае, если
2
1 ⎛ R ⎞ L L
>⎜ ⎟ (частота и период действительные величины) или R < 2 . Если R > 2 , то частота и
LC ⎝ 2 L ⎠ C C
период мнимые, колебаний нет, и происходит апериодический разряд конденсатора (рис.3).
Сопротивление
L
R Kp = 2 (12)
C
называется критическим.
Для характеристики степени затухания колебаний, кроме коэффициента затухания β , используется время
релаксации ( τ ), за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз (е=2,7). Из формулы (8) следует, что
отношение
U 0 e − βt
− β ( t +τ )
= e βτ = e ,
U0e
тогда
1 1
βτ = 1 или τ = ; β=
β τ
Логарифмическим декрементом затухания колебаний называется натуральный логарифм отношения двух
амплитудных значений напряжений, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний.
U 10 U 10 (t 1 )
λ = ln = ln (13)
U 20 U 20 (t 1 + T )
или
U 10
λ = 2.3 lg (14)
U 20
подставим в (13) значения U 10 (t 1 ) = U 0 e − βt1 и U 20 ( t 1 + T ) = U 0 e − β ( t1 +T ) , получим
λ = βT (15)
R
или согласно (9) λ= T (16)
2L
1
или λ= ,
Ne
3
