ВУЗ:
Составители:
1111
11
21
1
1
1
1
1
1 1
1
1
)(
1
)(
))(()())(()
)()()()(')()())((
−−++
+−
−
+
++≡
≡⋅
−
−⋅
−
≡
≡
′′′′
=
=
′
−
′
=
′′
−
∫∫
∫∫
∫∫
+
+
−
+
=
−
=
−
kkkkkk
x
x
kk
x
x
kk
k
x
x
x
x
k
k
k
k
x
x
x
x
kk
ydybya
dx
hh
yy
xadx
hh
yy
xa
dxxyxadxxyxa
x
x
xxyxadxxyxadxxyxa
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
ωω
ϕϕϕ
1
1
(
+
где
∫
+
−=
+
1
(
1
2
1
k
k
x
x
k
a
h
a ;)dxx
∫
+
−
=
1
1
;)(
1
2
k
k
x
x
k
dxxa
h
b
∫
−
−=
−
k
k
x
x
k
dxxa
h
d
1
)(
1
2
1
.
h
xy
1
)(
−
=
′
на интервале [x
k-1
, x
k
], т.к.
yy
kk
−
∑
= )()( xcxy
kk
ϕ
-
кусочно-линейная функция, ломаная.
,
1111 −−++
++=
kkkkkk
ygyfye где
;)()(
2
1
11
dxxx
k
x
k
k
ω
⋅
∫
+
;)()()(
1
1
21
1
dxxxxqg
k
x
x
k
k
k
k
ωω
⋅⋅=
∫
−
−
−
.)()()()()()(
2211
1
1
dxxxxqdxxxxq
k
x
x
kk
x
x
k
k
k
k
k
ωωωω
⋅⋅+⋅⋅=
∫∫
+
−
+
−
⋅
1
1
.)()(
k
x
dxxxf
ϕ
ые выражения в формулу (6.3), получаем
28
kkkkkkkkkk
Fyeayfbygd
=
+
+
+
+
+
+++−−− 111111
)()()( , где k=1, 2,
…, n-1. Это трехдиагональная система, которую можно решить методом
прогонки. Тем самым значения y
k
найдены, задача приближенно реше-
на.
Для нахождения коэффициентов трехдиагональной системы требу-
ется взять большое количество интегралов. Немного позже будут рас-
смотрены способы приближенного вычисления определенных интегра-
лов.
Вопросы:
1. Аппроксимационные формулы для приближения производных.
Порядок точности. Вывод через формулу Тейлора.
2. Методы решения задачи Коши для ОДУ (М. Эйлера,
М. Рунге-
Кутта), оценка погрешности. Практическое правило для оценки по-
грешности (двойной пересчет). Зависимость погрешности от шага.
3. Метод прогонки для решения СЛАУ с трехдиагональной матри-
цей.
4. Решение краевой задачи для ОДУ 2-го порядка с помощью ме-
тода прогонки.
5. Задача интерполяции. Инт. мн-н.
6. Задача интерполяции. Интерполяция квадр
. сплайном.
7. Метод наим. квадратов. Линейная, квадратичная регрессия.
Тренды.
8. Квадратурные ф-лы Ньютона-Комеса. Частные случаи n=1 и
n=2. Оценка погрешности.
9. Скалярное произведение функции. Ортогональность функций.
Ортогональные системы функций. (Тригометрическая, многочлены Ле-
жандра)
10. Многочлены Чебышева. Определение, Рекуррентная формула.
Доказательство ортогональности. Свойства многочленов (a
n
=2
n-1
, кор-
ни – все действ. и
[
]
1;1
−
∈
, миним. св-во).
11. Квадратурные формулы Гаусса-Чебышева n=1, n=2.
12. Типы уравнений математической физики. Физический смысл.
Начально-краевые задачи.
13. Метод сеток для различных типов УМФ.
Аналогично
)()(
1
1
∫
+
−
−
k
k
x
x
k
dxxyxq
ϕ
)(
1
xqe
x
k
k
ω
⋅=
+
+
f
k
Обозначим
∫
=
k
x
k
F
Подставляя найденн
27
x k =1 x k =1 xk +1 (d k −1 + g k −1 ) y k −1 + (bk + f k ) y k + (a k +1 + ek +1 ) y k +1 = Fk , где k=1, 2,
− ∫ (a( x) y′)′ϕ ( x)dx = ∫ a( x) y′ϕ ' ( x)dx −a( x) y′( x)ϕ ( x)
x k −1
k
x k −1
k k = …, n-1. Это трехдиагональная система, которую можно решить методом
прогонки. Тем самым значения yk найдены, задача приближенно реше-
xk −1 на.
xk x k +1 Для нахождения коэффициентов трехдиагональной системы требу-
= ∫ a( x) y′(ω1k ( x))′dx + ∫ a( x) y′(ω ( x))′dx ≡
k
2
ется взять большое количество интегралов. Немного позже будут рас-
x k −1 xk смотрены способы приближенного вычисления определенных интегра-
xk x k +1 лов.
y − yk −1 1 y k +1 − y k 1
≡ ∫ a ( x) k ⋅ dx − ∫ a ( x) ⋅ dx ≡
x k +1
h h xk
h h
≡ ak +1 yk +1 + bk yk + d k −1 yk −1 Вопросы:
где 1. Аппроксимационные формулы для приближения производных.
1
xk +1
1
x k +1
1
xk Порядок точности. Вывод через формулу Тейлора.
ak +1 = − 2
h ∫ a( x)dx; bk = 2
h ∫x a( x)dx; d k −1 = − h2 ∫ a( x)dx . 2. Методы решения задачи Коши для ОДУ (М. Эйлера, М. Рунге-
xk k −1 x k −1 Кутта), оценка погрешности. Практическое правило для оценки по-
y k − y k −1 грешности (двойной пересчет). Зависимость погрешности от шага.
y ′( x) = на интервале [xk-1, xk], т.к. y ( x ) = ∑ c k ϕ k ( x) - 3. Метод прогонки для решения СЛАУ с трехдиагональной матри-
h цей.
кусочно-линейная функция, ломаная. 4. Решение краевой задачи для ОДУ 2-го порядка с помощью ме-
Аналогично тода прогонки.
x k +1
5. Задача интерполяции. Инт. мн-н.
− ∫ q( x) yϕ
xk −1
k ( x)dx = ek +1 y k +1 + f k y k + g k −1 y k −1 , где 6. Задача интерполяции. Интерполяция квадр. сплайном.
7. Метод наим. квадратов. Линейная, квадратичная регрессия.
x k +1
Тренды.
∫ q ( x) ⋅ ω ( x) ⋅ ω 2k ( x)dx;
k +1
ek +1 = 1 8. Квадратурные ф-лы Ньютона-Комеса. Частные случаи n=1 и
xk
n=2. Оценка погрешности.
xk
9. Скалярное произведение функции. Ортогональность функций.
∫ q( x) ⋅ ω ( x) ⋅ ω1k ( x)dx;
k −1
g k −1 = 2 Ортогональные системы функций. (Тригометрическая, многочлены Ле-
xk −1 жандра)
xk x k +1
10. Многочлены Чебышева. Определение, Рекуррентная формула.
fk = ∫ q( x) ⋅ ω ( x) ⋅ ω ( x)dx + ∫ q ( x) ⋅ ω ( x) ⋅ ω 2k ( x)dx.
k k k
1 1 2 Доказательство ортогональности. Свойства многочленов (an=2n-1, кор-
xk −1 xk
ни – все действ. и ∈ [− 1;1] , миним. св-во).
x k +1
11. Квадратурные формулы Гаусса-Чебышева n=1, n=2.
Обозначим Fk = ∫ f ( x) ⋅ ϕ
xk −1
( x)dx. 12. Типы уравнений математической физики. Физический смысл.
Начально-краевые задачи.
Подставляя найденные выражения в формулу (6.3), получаем 13. Метод сеток для различных типов УМФ.
27 28
