ВУЗ:
Составители:
Случай 2
че для
элемент
-линей
Уравнение
. Метод конечных элементов. Применительно к краевой
зада обыкновенных дифференциальных уравнений метод конеч-
ных ов есть метод Галеркина при специально выбранном ку-
сочно ном базисе.
)()( xfyL
=
можно привести к дивергентной форме
)()()( xfyxq
dx
dy
x =+
⎟
⎠
⎞
, для этого умножим исходное урав-
нение на функцию –a(x):
)()()()()()( xfxayxqxaxayxa
a
dx
d
⎜
⎝
⎛
−
)( yxp
−
=⋅
−
′
⋅
−
′′
− , при этом
фу так, чтобы a'(x)=a(x)·p(x), т.е. нкцию a(x) выбираем
)(xpa
dx
da
⋅= , dxxp
a
da
)(= .
∫∫
= dxxp
da
)(
a
,
∫
== С(x)dxxpna )(l
С(x)
exa =)( .
При таком a(x) уравнение можно записать иначе
)()()()()( xfyxqxayxayxa ⋅−=
выборе
)(xa
−
′
′
−
′′
−
)()()( xFyxQya
=
+
′′
⋅− , )()()( xqxaxQгде
⋅
−
=
,
)()()( xfxaxF ⋅−= .
Это и есть дивергентная форма записи дифференциального уравне-
ния.
( ) () ()
xFyxQya
dx
d
=+
′
⋅− .
Будем считать, что дифференциальное уравнение изначально зада-
но в таком виде
–(a·y')'+q(x)y=f(x) (6.1)
а краевые условия
0 (6.2)
на [a
0
,b
0
], в частности, если a(x) и q(x)≥0, то
решение существует и единственно.
. Разобьем [a
0
,b
0
] на n частей с шагом h, a
0
=x
0
<
x
0
, тогда
26
x
k
x
k-1
x
k+1
x
n
x
1
x
0
ω
1
k
(x) ω
2
k
(x)
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤
≤≤−=
≤≤−=
≤≤
=
+
++
−−
−
nk
kkk
k
kkk
k
k
k
xxx
xxxxx
h
x
xxxxx
h
x
xxx
x
1
112
111
10
,0
),(
1
)(
),(
1
)(
,0
)(
ω
ω
ϕ
рис. 6.1.
В соответствии с методом Галеркина положим
)(...)()()(
1111
xcxcxyxy
nnn −−
+
+
=
=
ϕ
ϕ
- кусочно-линейная функ-
ция, имеющая, быть может, изломы только в точках x
0
, x
1
, …, x
n
.
y(x
k
)=y
k
=c
k
при k=1, 2, …, n-1.
Y(x
0
)=y(x
n
)=0 – граничные условия выполнены. Для определения y
k
выпишем моментные уравнения Галеркина:
∫∫∫
=+
′′
⋅−
b
a
kk
b
a
k
b
a
dxxxfdxxyxqdxxyxa )()()()()())((
ϕϕϕ
, k=1, 2, …, n-
1.
В силу выбора
)(x
k
ϕ
интегрирование идет по интервалу [x
k-1
, x
k+1
].
Имеем
∫∫∫
=
−
=
−
=
−
=+
′′
−
1
1
1
1
1
1
)()()()()())((
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
kk
x
x
k
dxxxfdxxyxqdxxyxa
ϕϕϕ
(6.3)
Первое слагаемое интегрируем по частям
y(a
0
)=0, y(b
0
)=
a(x), q(x) непрерывны
задачи (6.1), (6.2)
Выбор базиса
1
<…<x
n
=b
25
Случай 2. Метод конечных элементов. Применительно к краевой ⎧0, x0 ≤ x ≤ x k −1
задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений метод конеч- ⎪
ных элементов есть метод Галеркина при специально выбранном ку- ⎪ω1k ( x) = 1 ( x − x k −1 ), x k −1 ≤ x ≤ x k
сочно-линейном базисе. ⎪ h
ϕ k ( x) = ⎨
Уравнение L( y ) = f ( x) можно привести к дивергентной форме
⎪ω k ( x) = 1 ( x − x), x ≤ x ≤ x
k +1 k +1
d ⎛ dy ⎞ ⎪ 2 h
k
− ⎜ a( x) ⎟ + q( x) y = f ( x) , для этого умножим исходное урав- ⎪0, x ≤ x ≤ x
dx ⎝ dx ⎠ ⎩ k +1 n
нение на функцию –a(x):
ω1k(x) ω2k(x)
− a( x) y′′ − a ( x) ⋅ p ( x) y′ − a( x) ⋅ q( x) y = −a( x) f ( x) , при этом
функцию a(x) выбираем так, чтобы a'(x)=a(x)·p(x), т.е.
da da
= a ⋅ p( x) , = p( x)dx . x0 x1 xk-1 xk xk+1 xn
dx a
da
∫ a = ∫ p( x)dx , lna = ∫ p( x)dx = С(x) a( x) = e . рис. 6.1.
С(x)
При таком выборе a(x) уравнение можно записать иначе В соответствии с методом Галеркина положим
− a( x) y′′ − a′( x) y′ − a ( x)q ( x) y = − a( x) ⋅ f ( x) y n ( x) = y ( x) = c1ϕ1 ( x) + ... + c n −1ϕ n −1 ( x) - кусочно-линейная функ-
− (a ⋅ y′)′ + Q( x) y = F ( x) , где Q ( x) = −a ( x) ⋅ q ( x) , ция, имеющая, быть может, изломы только в точках x0, x1, …, xn.
F ( x) = −a( x) ⋅ f ( x) . y(xk)=yk=ck при k=1, 2, …, n-1.
Это и есть дивергентная форма записи дифференциального уравне- Y(x0)=y(xn)=0 – граничные условия выполнены. Для определения yk
ния. выпишем моментные уравнения Галеркина:
b b b
d − ∫ (a ( x) ⋅ y ′)′ϕ k ( x)dx + ∫ q ( x) yϕ k ( x)dx = ∫ f ( x)ϕ k ( x)dx , k=1, 2, …, n-
− (a ⋅ y′) + Q( x ) y = F ( x ) .
dx a a a
Будем считать, что дифференциальное уравнение изначально зада- 1.
но в таком виде В силу выбора ϕ k ( x) интегрирование идет по интервалу [xk-1, xk+1].
–(a·y')'+q(x)y=f(x) (6.1)
Имеем
а краевые условия xk =1 xk =1 xk =1
y(a0)=0, y(b0)=0 (6.2)
− ∫ (a( x) y ′)′ϕ k ( x)dx + ∫ q ( x) yϕ k ( x)dx = ∫ f ( x)ϕ ( x)dx (6.3)
a(x), q(x) непрерывны на [a0,b0], в частности, если a(x) и q(x)≥0, то k
xk −1 xk −1 xk −1
решение задачи (6.1), (6.2) существует и единственно.
Выбор базиса. Разобьем [a0,b0] на n частей с шагом h, a0=x0< Первое слагаемое интегрируем по частям
x1<…
