Вычислительная математика. Луппова Е.П - 11 стр.

    Продолжим вычислять значения αk, βk пока не дойдем до последне-                                 AB0 − A0 B
го уравнения: a n (α n −1 + β n −1 y n ) + bn y n = d n , в этом уравнении всего
                                                                                       k=                                     ,
                                                                                          ( A0 a + A1 ) B0 − ( B0b + B1 ) A0
                                                       d n − a nα n −1                     ( A0 a + A1 ) B − ( B0 b + B1 ) A
одна неизвестная, найдем ее значение y n =                             = αn .          l=                                       .
                                                       a n β n −1 + bn                    ( A0 a + A1 ) B0 − ( B0 b + B1 ) A0
    Обратный ход.                                                                      Таким образом, не уменьшая общности, можно считать краевую за-
    Зная yn, можно найти yn −1 = α n −1 + β n −1 yn . Зная yn −1 , можно найти     дачу однородной
y n − 2 = α n − 2 = β n − 2 y n −1 . С каждым шагом узнаем значение новой пере-
менной, номер которой на 1 меньше предыдущей. Так добираемся до y0.                    ⎧ L( y ) = f ( x )
                                                                                       ⎪
Все переменные найдены, задача решена.                                                 ⎨ A0 y (a ) + A1 y′(a ) = 0
                                                                                       ⎪ B y (b ) + B y′(b ) = 0
                                                                                       ⎩ 0             1




    6. Метод Галеркина для обыкновенных дифференциаль-                                Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде
                                                                                                n
ных уравнений 2-го порядка
    В начале XX века в Санкт-Петербурге, известными механиками,                    yn ( x) = ∑ ck ⋅ ϕk ( x) . Система функций φ1(x), φ2(x)… φn(x) называется
                                                                                               k =1
сначала И.Г. Бубновым, а затем (1915) Б.Г. Галеркиным был предложен
                                                                                   базисной, или координатной системой.
метод решения однородных краевых задач для дифференциальных
                                                                                       Рассмотрим скалярные произведения основного уравнения на ба-
уравнений, называемый также методом моментов, метод нахождения
                                                                                   зисные функции. Скалярным произведением двух функций двух функ-
приближенного решения дифференциального уравнения в виде линей-
                                                                                   ций называется интеграл от их произведения.
ной комбинации элементов заданной линейно зависимой системы                                             b
функций.
    Рассмотрим краевую задачу
                                                                                       ( f , g ) = ∫ f ( x) ⋅ g ( x) ⋅ dx .
                                                                                                        a

     L( y ) = y ′′ + p (x ) y ′ + q (x ) y = f ( x )                                  Если L( y ) = f ( x ) , то (L( y ), ϕi ( x )) = ( f (x ), ϕi (x )) .

     A0 y (a ) + A1 y ′(a ) = A
                                                                                       b                                                   b


     B0 y (b ) + B1 y ′(a ) = B
                                                                                       ∫ ( y′′ + p(x )y′ + q(x )y ) ⋅ ϕi (x )dx =∫ f (x ) ⋅ ϕi (x )dx .
                                                                                       a                                                   a

     a≤ x≤b                                                                           Получившееся уравнение называется моментным, или проекцион-
                                                                                                                                                                       n
                                                                                   ным, его можно расписать подробнее, учитывая, что y =                              ∑c     k   ⋅ ϕk (x )
    Эту краевую задачу легко можно свести к однородной с помощью                                                                                                      k =1
замены Z = y − y * , где функция y* удовлетворяет краевым условиям,                    b   n                                                        b

например, y* = kx + l , где                                                            ∫ ∑ (c ϕ ′′ + c ϕ ′ ⋅ p + c ϕ
                                                                                       a k =1
                                                                                                    k   k   k   k      k      k   ⋅ q ) ⋅ ϕ i ⋅ dx = ∫ f ⋅ ϕ i ⋅ dx
                                                                                                                                                    a




                                              21                                                                                      22