ВУЗ:
Составители:
Обозначим p
i
=p(x
i
), q
i
=q(x
i
), f
i
=f(x
i
)
()
1
2
1
qy
hp
ii
i
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
2
1
2
2
12
hfy
hp
yh
ii
i
i
⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−
−
, обозначим
2
1
i
p
i
a −=
, 2
2
−= hqb
ii
,
2
1
hp
c
i
i
+= ,
2
hfd
ii
= .
аппроксимация для основного уравнения запишется
iii
dyc =
+1
. Индекс i меняется от 0 до n, но при i=0 не
определено i-1, а при i=n не определено i+1, значит, основное уравне-
ние имеет смысл только при i=1,2,3…, n-1. Таким образом, получено n-
1 ур вместе с двумя уравнениями аппроксимации краевых ус-
ловий система из n+1 уравнения, содержащая n+1 неизвест-
ное
найти приближенные значе-
ния , т.е. получить сеточное решение
краевой
Системы линейных алгебраическ решают разными
Крамера, матричным методом через обратную
произведение двух треугольных, но
самым д Гаусса, он требует наименьшего
объема требуется решить, особенная – в
каждом . Для таких систем в 50-х
годах предложили упрощенную
схему .
=d
0
=d
1
=
d
2
=d
n-1
y
n
=d
n
кой системы состоит в основном из нулей, ненулевые
нали и на двух линиях
Разностная
так
iiii
ybya ++
−1
авнение,
получится
: y
0
,y
1
…, y
n
. Решив эту систему можно
функции y=y(x) в узловых точках
задачи (1).
их уравнений
способами: по правилу
матрицу, разложением матрицы на
рациональным является мето
вычислений. Система, которую
уравнении не более трех переменных
прошлого века советские математики
метода Гаусса – метод прогонки
Запишем всю систему
b
0
y
0
+c
0
y
1
a
1
y
0
+b
1
y
1
+c
1
y
2
a
2
y
1
+b
2
y
2
+c
2
y
3
. . . . . . .
a
n-1
y
n-2
+b
n-1
y
n-1
+c
n-1
y
n
a
n
y
n-1
+b
Матрица та
элементы расположены только на главной диаго
вдоль нее.
19
20
b
0
c
0
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
А= a
3
b
3
c
3
. . . . .
a
n-1
b
n-1
c
n-1
a
n
b
n
Такие матрицы называются ленточными, или трехдиоганальными.
Именно для систем с такими матрицами и разработан метод прогонки.
Как и метод Гаусса, он состоит из двух этапов – прямой ход и обратный
ход.
Прямой ход.
Из первого уравнения выразим y
0
1001
0
0
0
0
0
yy
b
c
b
d
y
βα
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
, где
0
0
0
b
d
=
α
0
0
0
b
c
−=
β
.
Подставим это выражение y
0
во второе уравнение:
(
)
121111001
dycybya
=
+
+
+
β
α
, теперь оно содержит две неизвест-
ных, выразим y
1
2112
101
1
101
011
1
yy
ba
c
ba
ad
y
βα
ββ
α
+=
+
−
+
+
−
= , где
101
011
1
ba
ad
+
−
=
β
α
α
,
101
1
1
ba
c
+
−
=
β
β
.
Подставим это выражение y
1
в следующее уравнение
(
)
132222111
dycybya
=
+
+
+
β
α
и выразим из него y
2
3222
yy
β
α
+
=
, где
212
122
2
ba
ad
+
−
=
β
α
α
,
212
2
2
ba
c
+
−
=
β
β
.
Продолжим выражать
1+
+
=
kkkk
yy
β
α
, где
kkk
kkk
k
ba
ad
+
−
=
−
−
1
1
β
α
α
,
kkk
k
k
ba
c
+
−
=
−1
β
β
.
Обозначим pi=p(xi), qi=q(xi), fi=f(xi)
b0 c0
⎛ ph⎞
2
( 2
) ⎛ ph⎞
⎜1 + i ⎟ yi +1 + qi h − 2 yi + ⎜1 − i ⎟ yi −1 = f i ⋅ h , обозначим
2
2
a1 b1 c1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a2 b2 c2
p ph А= a3 b3 c3
ai = 1 − i , bi = qi h 2 − 2 , ci = 1 + i , d i = f i h 2 .
2 2 . . . ..
Разностная аппроксимация для основного уравнения запишется an-1 bn-1 cn-1
так ai yi −1 + bi yi + ci yi +1 = di . Индекс i меняется от 0 до n, но при i=0 не an bn
определено i-1, а при i=n не определено i+1, значит, основное уравне- Такие матрицы называются ленточными, или трехдиоганальными.
ние имеет смысл только при i=1,2,3…, n-1. Таким образом, получено n- Именно для систем с такими матрицами и разработан метод прогонки.
1 уравнение, вместе с двумя уравнениями аппроксимации краевых ус- Как и метод Гаусса, он состоит из двух этапов – прямой ход и обратный
ловий получится система из n+1 уравнения, содержащая n+1 неизвест- ход.
ное: y0,y1…, yn. Решив эту систему можно найти приближенные значе- Прямой ход.
ния функции y=y(x) в узловых точках, т.е. получить сеточное решение Из первого уравнения выразим y0
краевой задачи (1).
d 0 ⎛ c0 ⎞ d c0
Системы линейных алгебраических уравнений решают разными y0 = + ⎜⎜ − ⎟⎟ y1 = α 0 + β 0 y1 , где α 0 = 0 β0 = − .
способами: по правилу Крамера, матричным методом через обратную b0 ⎝ b0 ⎠ b0 b0
матрицу, разложением матрицы на произведение двух треугольных, но Подставим это выражение y0 во второе уравнение:
самым рациональным является метод Гаусса, он требует наименьшего a1 (α 0 + β 0 y1 ) + b1 y1 + c1 y 2 = d1 , теперь оно содержит две неизвест-
объема вычислений. Система, которую требуется решить, особенная – в
каждом уравнении не более трех переменных. Для таких систем в 50-х ных, выразим y1
годах прошлого века советские математики предложили упрощенную d1 − a1α 0 − c1 d1 − a1α 0
y1 = + y 2 = α 1 + β1 y 2 , где α1 = ,
схему метода Гаусса – метод прогонки. a1 β 0 + b1 a1 β 0 + b1 a1 β 0 + b1
Запишем всю систему
− c1
b0y0+c0y1 =d0 β1 = .
a1y0+b1y1+c1y2 =d1 a1 β 0 + b1
a2y1+b2y2+c2y3 = d2 Подставим это выражение y1 в следующее уравнение
. . . . . . . a1 (α1 + β1 y 2 ) + b2 y 2 + c2 y3 = d1 и выразим из него y2
an-1yn-2+bn-1yn-1+cn-1yn =dn-1
anyn-1+byn =dn d 2 − a2α1 − c2
y 2 = α 2 + β 2 y3 , где α 2 = , β2 = .
a2 β1 + b2 a2 β1 + b2
Продолжим выражать
Матрица такой системы состоит в основном из нулей, ненулевые
d k − ak α k −1 − ck
элементы расположены только на главной диагонали и на двух линиях y k = α k + β k y k +1 , где α k = , βk = .
вдоль нее. ak β k −1 + bk a k β k −1 + bk
19 20
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
