Вычислительная математика. Луппова Е.П - 9 стр.

     5. Краевые задачи для обыкновенного дифференциаль-                   ⎧ y′′ + p( x) y′ + q( x) y = f ( x)
ного уравнения 2-го порядка                                               ⎪
     Постановка задачи.                                                   ⎨ A0 y (a ) + A1 y′(a ) = A
На отрезке [a, b] требуется найти решение уравнения                       ⎪ B y (b) + B y′(b) = B
                                                                          ⎩ 0            1
y′′ + f ( x, y, y′) = 0 , удовлетворяющее краевым условиям              разрешима тогда и только тогда, когда f(x), A, B удовлетворяют ко-
    ⎧ A0 y (a ) + A1 y′(a ) = A                                     нечному числу условий ортогональности.
    ⎨                                                                   В дальнейшем будем предполагать, что решение краевой задачи
    ⎩ B0 y (b) + B1 y′(b) = B                                       существует и единственно.
       Пример:                                                          Существует несколько способов решения краевых задач. Рассмот-
    ⎧ y′′ + y 2 = 1                                                 рим конечно-разностный, сеточный способ.
    ⎪                                                                   Разобьем промежуток [a; b] на n частей узловыми точками xi=a+ih,
    ⎨ y (0) = 0                                                                   b−a
    ⎪ y′(1) = 0                                                     где      h=             - шаг вычислений, yi=y(xi). Построим конечно-
    ⎩                                                                              n
    Вопрос о разрешимости краевой задачи не имеет универсального    разностную аппроксимацию неоднородной задачи
ответа не только в общем случае, но даже для линейных уравнений.          ⎧ y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = f ( x)
    Пример:                                                               ⎪
    ⎧ y′′ + n 2 y = 0                                                     ⎨ A0 y (a ) + A1 y′(a ) = A
    ⎪                                                                     ⎪ B y (b) + B y′(b) = B
                                                                          ⎩ 0
    ⎨ y (0) = 0                            n ∈N                                          1

    ⎪ y (π ) = 0                                                               Для краевых условий
    ⎩                                                                        ⎧                  y1 − y0
    имеет два решения y=0 и y=sin nx. Можно привести пример крае-            ⎪ A0 ⋅ y0 + A1 ⋅ h = A
вой задачи для линейного уравнения, не имеющей решения.                      ⎨                 y − yn −1
    Вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного диффе-              ⎪ B0 ⋅ yn + B1 ⋅ n           =B
ренциального уравнения открыт до сих пор. Для линейных дифферен-             ⎩                     h
циальных уравнений этот вопрос решен:                                        ⎧( A0 ⋅ h − A1 ) y0 + A1 y1 = A ⋅ h
                                                                             ⎨
                                                                             ⎩(− B1 ) yn −1 + (B0 ⋅ h + B1 ) = B ⋅ h
    1) однородная задача
   ⎧ y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = 0
   ⎪                                                                    Введем обозначения b0=A0·h-A1, c0=A1, d0=Ah, an=-B1, bn=B0·h +B1,
   ⎨ A0 y (a ) + A1 y′(a ) = 0                                      dn=Bh, уравнения запишутся
   ⎪ B y (b) + B y′(b) = 0                                              b0y0+c0y1=d0
   ⎩ 0             1
                                                                        anyn-1+bnyn=dn
                                                                        Для основного уравнения применим аппроксимацию
   имеет не более конечного числа линейно-независимых решений,
                                                                             yi +1 − yi −1                   yi +1 − 2 yi + yi −1
                                                                     yi' =
                                                                                  2h
                                                                                              ( )
                                                                                           + 0 h2    yi" =
                                                                                                                     h 2
                                                                                                                                  ( )
                                                                                                                                  + 0 h 2 , пренебрегая сла-
   2) неоднородная задача
                                                                    гаемыми второго порядка
                                                                    yi +1 − 2 yi + yi −1          y −y
                                                                              2
                                                                                         + p( xi ) i +1 i −1 + q(xi ) ⋅ yi = f ( xi ) .
                                                                            h                          2h

                                      17                                                                          18