ВУЗ:
Составители:
∑
=
i
1
),
m
y - из
,
+
+=
r
iimm
kphyy
1
, (4.1)
где
(
1 m
xfk = метода Эйлера
)
1212
hkyh
m
(
2
xfk
m
β
α
+
+
. . . . . . . .
))(,(
1111
hkkyhxfk
rrmrmr −
+
=
. . . . . . .
...
,rr −
+
+
+=
β
β
α
r ≥ 1 – фиксированное целое число, порядок точности метода
. Эти параметры определяются при конкретных
значениях того, чтобы погрешность метода на шаге была наимень-
шей по порядку. Определим эти аметры для r=2. Из формулы (4.1)
получаем
1
y
m
p
i
, α
i
, β
ij
– параметры
r из
пар
)(
2211
kpkphy
m
+
+=
+
, (4.2)
)
m
y
),
121
hkyh
m
где
,(
1 m
xfk =
(
22
xfk
m
β
α
+
+=
оценим погрешность метода на шаге
∆
m
1+
Для определения параметров
(h).
1
)()(
+
−
=∆
mm
xyh
где
)(
1+m
xy - точное
y
m+1
– приближенное
m
y ,
значение в точке x
m+1
,
значение, вычисленное по формуле (4.2), ис-
ходя
)
m
x
из точного
(
m
yy
=
.
: Формула Тейлора
)(
2
)()()()(
3
1
hO
h
xyhxyxyxy
mmmm
+⋅
′′
+⋅
′
+=
+
Из дифференциального уравнения
2
(4.3)
),( yxfy
=
′
,
))(,
m
xy , продифференцируем ()(
mm
xfxy =
′
(
)
mm
xyxyxf '))(,( ⋅
′
mymmxm
xyxfxy ))(,()(
+
′
=
′′
))(,()(
mmxm
xyxfxy
или
))(,())(,(
mmmmy
xyxfxyxf ⋅
′
+
′
=
′′
Из формулы (4.3)
[]
)(),(),((
2
),()(
3
2
1
hOyxfyxfxf
h
yxhfyxy
mmmymmx
mmmm
+⋅
′
+
′
+
++=
+
(4.4)
Из формулы (2)
14
[
]
),(),(
1212211
hkyhxfpyxfphyy
mmmmmm
β
α
+
+
+
+
=
+
Из формулы Тейлора для двух переменных
[
+
+
+
=
+
),(),(
211 mmmmmm
yxfpyxfphyy
]
)(),(),(),(
2
21222
hOyxfyxfhpyxfhp
mmmmymmx
+⋅
′
⋅+
′
⋅
βα
т.к.
),(
1 mm
yxfk
=
[
]
[]
)(),(),(),(
),(
3
21222
2
211
hOyxfyxfpyxfph
yxfpphyy
mmmmymmx
mmmm
+⋅
′
+
′
⋅+
+
+
+
=
+
βα
(4.5)
Из сравнения формул (4.4) и (4.5) получаем систему уравнений
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=⋅
=⋅
=+
2
1
2
1
1
212
22
21
β
α
p
p
pp
(4.6)
В системе три уравнения и четыре неизвестных. Такая система
имеет бесконечно много решений. Одно из неизвестных может быть
выбрано произвольно.
Чаще всего встречаются следующие два частных решения:
I.
2
1
21
== pp
1
212
=
=
β
α
II.
0
1
=
p 1
2
=
p
2
1
212
==
βα
В I случае расчетная формула метода Рунге-Кутта 2-го порядка
имеет вид
)(
2
211
kk
h
yy
mm
++=
+
, где ),(
1 mm
yxfk
=
, (из (4.2))
),(
12
hkyhxfk
mm
+
+
=
.
Во II случае вычисления проводятся по схеме
)
2
,
2
(
1
1
hk
y
h
xfhyy
mmmm
++⋅+=
+
, где ),(
1 mm
yxfk
=
.
Система (4.6) получается из условия наиболее полного возможного
совпадения формул (4.4) и (4.5) и обеспечивает равенство слагаемых –
), y
m
13
r
y m +1 = y m + h[ p1 f ( x m , y m ) + p 2 f ( x m + α 2 h, y m + β 21 k1 h)]
ym +1 = ym + h∑ pi ki , (4.1)
i =1 Из формулы Тейлора для двух переменных
где k1 = f ( x m , y m ) - из метода Эйлера y m +1 = y m + h[ p1 f ( x m , y m ) + p 2 f ( x m , y m ) +
k2 = f ( xm + α 2 h, ym + β 21k1h) p 2α 2 h ⋅ f x′ ( x m , y m ) + p 2 β 21 h ⋅ f y′ ( x m , y m ) ⋅ f ( x m , y m ) + O(h 2 ) ]
. . . . . . . . . . . . . . . т.к. k1 = f ( x m , y m )
kr = f ( xm + α r h, ym + ( β r1k1 + ... + β r , r −1kr −1 )h) y m +1 = y m + h[ p1 + p 2 ] f ( x m , y m ) +
r ≥ 1 – фиксированное целое число, порядок точности метода
pi, αi, βij – параметры. Эти параметры определяются при конкретных
[ ]
+ h 2 p 2α 2 ⋅ f x′ ( x m , y m ) + p 2 β 21 f y′ ( x m , y m ) ⋅ f ( x m , y m ) + O(h 3 )
значениях r из того, чтобы погрешность метода на шаге была наимень- (4.5)
шей по порядку. Определим эти параметры для r=2. Из формулы (4.1) Из сравнения формул (4.4) и (4.5) получаем систему уравнений
получаем ⎧
y m +1 = y m + h( p1 k1 + p 2 k 2 ) , (4.2) ⎪ p1 + p 2 = 1
⎪
где k1 = f ( x m , y m ) ⎪ 1
⎨ p2 ⋅ α 2 = (4.6)
k 2 = f ( x m + α 2 h, y m + β 21 k1 h) ⎪ 2
Для определения параметров оценим погрешность метода на шаге ⎪ 1
⎪⎩ p 2 ⋅ β 21 = 2
∆m(h). ∆ m (h) = y ( x m +1 ) − y m +1 ,
где y ( xm +1 ) - точное значение в точке xm+1, В системе три уравнения и четыре неизвестных. Такая система
имеет бесконечно много решений. Одно из неизвестных может быть
ym+1 – приближенное значение, вычисленное по формуле (4.2), ис- выбрано произвольно.
ходя из точного y m = y ( x m ) . Чаще всего встречаются следующие два частных решения:
Формула Тейлора: 1
2 I. p1 = p2 = α 2 = β 21 = 1
h 2
y ( xm +1 ) = y ( xm ) + y′( xm ) ⋅ h + y′′( xm ) ⋅ + O(h3 ) (4.3)
2 1
II. p1 = 0 p2 = 1 α 2 = β 21 =
Из дифференциального уравнения y ′ = f ( x, y ) , 2
y ′( x m ) = f ( x m , y ( x m )) , продифференцируем В I случае расчетная формула метода Рунге-Кутта 2-го порядка
имеет вид
y′′( x m ) = f x′( xm , y ( xm )) + f y′( xm , y ( xm )) ⋅ y ' ( xm ) или h
y′′( x m ) = f x′( xm , y ( xm )) + f y′( xm , y ( xm )) ⋅ f ( xm , y ( xm )) y m +1 = y m + (k1 + k 2 ) , где k1 = f ( xm , y m ) , (из (4.2))
2
Из формулы (4.3) k2 = f ( xm + h, ym + hk1 ) .
y ( x m +1 ) = y m + hf ( x m , y m ) + Во II случае вычисления проводятся по схеме
(4.4) h hk
[ ]
2
h ym +1 = ym + h ⋅ f ( xm + , ym + 1 ) , где k1 = f ( xm , y m ) .
+ f x′ ( x m , y m ) + f y′ ( x m , y m ) ⋅ f ( x m , y m ) + O(h 3 )
2 2 2
Из формулы (2) Система (4.6) получается из условия наиболее полного возможного
совпадения формул (4.4) и (4.5) и обеспечивает равенство слагаемых –
13 14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
