Вычислительная математика. Луппова Е.П - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Эта аппроксимационная формула более громоздкая
щая, но она имеет более высокий порядок точности
способом могут быть получены формулы численн
ния для производных любого порядка и оценена их
Задача. Доказать, что
, чем предыду-
, четвертый. Таким
ого дифференцирова-
точность.
)(0
2
)(3)2()(4
)(
2
h
h
xfhxfhxf
xf +
−
+
−
+
=
′
,
Тейлора.
Задача. Записать аппроксимационную форм
используя формулу
улу 3-го порядка точ-
ности для первой производной y'
i
.
3. Задача Коши для обыкновенного дифференциального
у порядка. Метод Эйлера
уравнение первого порядка
можно виде
).,( yxfy =
′
Такое уравнение в общем
слу много частных решений, и для того, чтобы
выбрат , ставят дополнительное условие,
обычно в виде
00
)( yxy
равнения 1-го
Обыкновенное дифференциальное
записать в явном
чае имеет бесконечно
ь из них одно конкретное
=
.
ча Коши:
⎩
⎨
⎧
=
=
′
00
)(
),(
yxy
yxfy
непрерывна по х и непрерывно дифференцируема по
y имеет единственное решение, непрерывно зависящее
от начальных данных
0
x и
0
y . Если ),( yxf непрерывна по х и по y, то
задача Коши имеет локальное решение, возможно и единственное (Тео-
рема Пеано). Решение может существовать не во всех точках, где опре-
делена
),( yxf .
и для дифференциальных
уравнений Л. Эйлером. Его именем называ-
ется решения задачи Коши (которая в
те . Коши лет на 50 моложе Эйлера).
Метод состоит в том, чтобы заменить y' ее аппроксимацией.
Рассмот-
рим решение задачи Коши на промежутке [a; b].
h
n
ab
=
−
- шаг раз-
10
биения, ihax
i
+
=
- узловые точки, x
0
= a, x
n
= b, i = 0, 1…, n; y
i
=
y(x
i
).
Уравнение
),( yxfy
=
′
в точке x
i
и y
0
имеет вид ),(
iii
yxfy =
′
,
после аппроксимации
hyxfyy
iiii
⋅
=
−
+
),(
1
hyxfyy
iiii
⋅
+
=
+
),(
1
Из начальных условий
)(
0
xfy
=
- дано. Следующее значение
hyxfyy
⋅
+
= ),(
0001
- получается из x
0
, y
0
. Дальше процесс продолжа-
ется, следующее y
i+1
получается из предыдущего y
i
, и так до ).(bfy
n
=
Геометрически метод Эйлера означает замену движения по кривой
движением по касательной:
)(
ii
xxkyy
−
+
=
- уравнение прямой, проходящей через точку (x
i
,
y
i
); k – ее угловой коэффициент
Для касательной угловой коэффициент
yk
′
=
, в нашем случае
),( yxfy =
′
, значит ))(,(
iiii
xxyxfyy
−
+
=
- уравнение касательной
к интегральной кривой y=y(x) в точке x=x
i
y=y
i
, а точка
))(,(
11 iiiiii
xxyxfyy
−
+
=
++
лежит на касательной при x=x
i
+1. По-
грешность на первом шаге получается сразу из аппроксимационной
формулы
),(
),(
1
ii
ii
iii
yxfMh
h
yy
yxfy
=+
−
=
′
+
2
1
),( Mhyxfhyy
iiii
+⋅+=
+
- второго порядка,
),(
~
0001
yxfhyy
⋅
+
=
- приближенное значение.
Но на втором шаге при вычислении y
2
2
2
2
11
2
1
2
1112
2
~
)
~
,(
~
),( MhyMhyxhfMhyMhyxhfyy +=+++=++=
используется приближенное значение
1
~
y и в результате погрешности
на каждом шаге складываются, в результате после n шагов вычислений
2
~
)( nMhyyby
nn
+==
и общая погрешность
Получается зада
Если
),( yxf
, то задача Коши
Основы численных методов вообще
в частности были заложены
один из самых простых методов
годы еще так не называлась, т.к
9 
    Эта аппроксимационная формула более громоздкая, чем предыду-                      биения, xi = a + ih - узловые точки, x0 = a, xn = b, i = 0, 1…, n; yi =
щая, но она имеет более высокий порядок точности, четвертый. Таким                    y(xi).
способом могут быть получены формулы численного дифференцирова-
ния для производных любого порядка и оценена их точность.                                  Уравнение y ′ = f ( x, y ) в точке xi и y0 имеет вид y i′ = f ( xi , y i ) ,
                                                                                      после аппроксимации y i +1 − y i = f ( xi , y i ) ⋅ h
    Задача. Доказать, что                                                                                     yi +1 = yi + f ( xi , yi ) ⋅ h
          4 f ( x + h) − f ( x + 2h ) − 3 f ( x )
f ′( x) =                                         + 0(h 2 ) ,   используя   формулу
                          2h                                                                 Из начальных условий y 0 = f ( x) - дано. Следующее значение
Тейлора.
    Задача. Записать аппроксимационную формулу 3-го порядка точ-                       y1 = y 0 + f ( x0 , y 0 ) ⋅ h - получается из x0, y0. Дальше процесс продолжа-
ности для первой производной y'i.                                                     ется, следующее yi+1 получается из предыдущего yi, и так до y n = f (b).
                                                                                      Геометрически метод Эйлера означает замену движения по кривой
                                                                                      движением по касательной:
   3. Задача Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения 1-го порядка. Метод Эйлера
                                                                                              y = y i + k ( x − xi ) - уравнение прямой, проходящей через точку (xi,
    Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка                           yi);                       k – ее угловой коэффициент
можно записать в явном виде y′ = f ( x, y ). Такое уравнение в общем                            Для касательной угловой коэффициент k = y ′ , в нашем случае
случае имеет бесконечно много частных решений, и для того, чтобы                      y ′ = f ( x, y ) , значит y = y i + f ( xi , y i )( x − xi ) - уравнение касательной
выбрать из них одно конкретное, ставят дополнительное условие,                        к      интегральной          кривой          y=y(x)      в   точке   x=xi   y=yi,   а   точка
обычно в виде y ( x0 ) = y 0 .                                                        y i +1 = y i + f ( xi , y i )( xi +1 − xi ) лежит на касательной при x=xi+1. По-
                                      ⎧ y ′ = f ( x, y )                              грешность на первом шаге получается сразу из аппроксимационной
    Получается задача Коши: ⎨                                                         формулы
                                      ⎩ y ( x0 ) = y 0
                                                                                                 y i′ = f ( xi , y i )
     Если f ( x, y ) непрерывна по х и непрерывно дифференцируема по
y, то задача Коши имеет единственное решение, непрерывно зависящее                               y i +1 − y i
                                                                                                              + Mh = f ( xi , y i )
от начальных данных x0 и y0 . Если f ( x, y ) непрерывна по х и по y, то                               h
задача Коши имеет локальное решение, возможно и единственное (Тео-                               y i +1 = y i + h ⋅ f ( xi , y i ) + Mh 2 - второго порядка,
рема Пеано). Решение может существовать не во всех точках, где опре-                             ~
                                                                                                 y = y + h ⋅ f ( x , y ) - приближенное значение.
                                                                                                  1       0               0    0
делена f ( x, y ) .                                                                          Но на втором шаге при вычислении y2
     Основы численных методов вообще и для дифференциальных
                                                                                          y 2 = y1 + hf ( x1 , y1 ) + Mh 2 = ~
                                                                                                                             y1 + Mh 2 + hf ( x1 , ~
                                                                                                                                                   y1 ) + Mh 2 = ~
                                                                                                                                                                 y 2 + 2Mh 2
уравнений в частности были заложены Л. Эйлером. Его именем называ-
ется один из самых простых методов решения задачи Коши (которая в                     используется приближенное значение ~         y1 и в результате погрешности
те годы еще так не называлась, т.к. Коши лет на 50 моложе Эйлера).                    на каждом шаге складываются, в результате после n шагов вычислений
Метод состоит в том, чтобы заменить y' ее аппроксимацией. Рассмот-                    y (b) = y n = ~
                                                                                                    y n + nMh 2 и общая погрешность
                                                                b−a
рим решение задачи Коши на промежутке [a; b].                       = h - шаг раз-
                                                                 n
                                             9                                                                                           10

Страницы