ВУЗ:
Составители:
7
ая, и ничего не известно о ее погреш-
, запишем два варианта формулы Тейлора
Но эта формула приближенн
ности.
Можно поступить иначе
)2(
!2
)2(
2
3
2
2
3
⋅
+
′′
+⋅
′
+=
+
Mh
h
yhyyy
iiii
3
Mhy +
улы, умножив предварительно вторую на -2,
полу
3
12
2
2 Mhyyyhy
iiii
++−=
′′
++
2
2
1
+
′′
+⋅
′
+=
+
+
Mh
h
yhyyy
iiii
8
δ
γ
β
α
⋅
⋅
⋅
⋅
+⋅−⋅+⋅
′′′
−⋅
′′
+⋅
′
−=
+⋅−⋅+⋅
′′′
−⋅
′′
+⋅−=
+⋅+⋅+⋅
′′′
+⋅
′′
+⋅
′
+=
+⋅+⋅+⋅
′′′
+⋅
′′
+⋅
′
+=
−
−
+
+
+
65)(4)(32
1
65)(4)(32
1
65)(4)(32
1
65)(4)(32
2
15
4
3
2
3
4
22
120
1
24
1
6
1
2
1
120
1
24
1
6
1
2
1
15
4
3
2
3
4
22
Mhhyhyhyhyhyyy
Mhhyhyhyhyhyyy
Mhhyhyhyhyhyyy
Mhhyhyhyhyhyyy
V
i
IV
iiiiii
V
i
IV
iiiiii
V
i
IV
iiiiii
V
i
IV
iiiiii
Умножим каждую из формул на соответствующий множитель α, β,
γ или δ и всё сложим. При этом подберем множители так, чтобы сла-
гаемые с y'
i
, y'''
i
, y
(IV)
i
сократились, т.е.
022:
=
−
−
+
′
δ
γ
β
α
i
y
0
3
4
6
1
6
1
3
4
: =−−+
′′′
δγβα
i
y
0
3
2
24
1
24
1
3
2
:
)(
=+++
δγβα
IV
i
y
Получилась система из 3-х линейных уравнений с 4-я неизвестны-
ми (значит одно из неизвестных можно выбрать произвольно).
(
)
(
)
()()
()()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+++⋅
−+−⋅
−+−⋅
γβδα
γβδα
γβδα
16
8
2
Из первых двух уравнений α – δ = 0 и β – γ = 0 α = δ β = γ
16(2α) + (2β) = 0 β = -162 β = -162 γ = -162
δ = α
Выбираем α = 1, тогда β = -16, γ = -16, δ = 1.
Складываем все четыре уравнения, умноженные на соответствую-
щие коэффициенты
6
2
"
2112
12301616 Mhhyyyyy
iiiiii
+−−=+−−
−−++
4
2
2112
12
163016
Mh
h
yyyyy
y
iiiii
i
+
−
+
−
+
−
=
′′
++−−
2
12
2 hyyy
iiii
′′
+−=−
++
Сложим эти две форм
чается
Mh
yyy
y
iii
+
h
i
+
−
=
′′
++ 12
2
1-ый порядок точности.
устраивает исследователя, то можно полу-
чить . Запишем два варианта формулы
Тейлора
2
Полученная формула имеет
Если этот результат не
более точную аппроксимацию
, формулы (1) и (2)
42
11
4
32
4
32
1
2
62
62
Mhhyyyy
Mh
h
y
h
y
Mh
h
y
h
yhyyy
iiii
ii
iiiii
+
′′
+=+
+
′′′
−
′′
+
′′′
+
′′
+⋅
′
+=
−+
+
+
После сложения получается
1
hyyy
iii
+⋅
′
−=
−
2
2
11
2
Mh
h
yyy
y
iii
i
+
+−
=
′′
−+
аппроксимационная форм ла 2-го по-
рядка. Можно получить еще более точную формулу
у
Но эта формула приближенная, и ничего не известно о ее погреш- 4 2 4
ности. yi + 2 = y i +2 yi′ ⋅ h + 2 yi′′⋅ h 2 +
yi′′′⋅ h3 + yi( IV ) ⋅ h 4 + yi(V ) ⋅ h5 + Mh6 ⋅ α
Можно поступить иначе, запишем два варианта формулы Тейлора
3 3 15
1 1 1 1 (V ) 5
yi +1 = y i + yi′ ⋅ h + yi′′⋅ h 2 + yi′′′⋅ h3 + yi( IV ) ⋅ h 4 + yi ⋅ h + Mh6 ⋅ β
2 6 24 120
h2
yi +1 = yi + yi′ ⋅ h + yi′′
2
+ Mh3 +
1 1 1 ( IV ) 4 1 (V ) 5
+ yi −1 = y i − yi ⋅ h +
2
yi′′⋅ h 2 − yi′′′⋅ h3 +
6 24
yi ⋅ h −
120
yi ⋅ h + Mh6 ⋅ γ
( 2h) 2 4 2 4
yi + 2 = yi + yi′ ⋅ 2h + yi′′ + Mh3 (⋅2) yi −1 = y i −2 yi′ ⋅ h + 2 yi′′⋅ h 2 − yi′′′⋅ h3 + yi( IV ) ⋅ h 4 − yi(V ) ⋅ h5 + Mh6 ⋅ δ
2! 3 3 15
yi + 2 − 2 yi +1 = − yi + yi′′h 2 + Mh3 Умножим каждую из формул на соответствующий множитель α, β,
γ или δ и всё сложим. При этом подберем множители так, чтобы сла-
Сложим эти две формулы, умножив предварительно вторую на -2, гаемые с y'i, y'''i, y(IV)i сократились, т.е.
получается yi′ : 2α + β − γ − 2δ = 0
y i′′h 2 = y i + 2 − 2 y i +1 + y i + Mh 3 4 1 1 4
y − 2 y i +1 + y i yi′′′: α + β − γ − δ = 0
y i′′ = i + 2 + Mh 3 6 6 3
h2 2 1 1 2
Полученная формула имеет 1-ый порядок точности. yi( IV ) : α + β + γ + δ =0
3 24 24 3
Если этот результат не устраивает исследователя, то можно полу- Получилась система из 3-х линейных уравнений с 4-я неизвестны-
чить более точную аппроксимацию. Запишем два варианта формулы ми (значит одно из неизвестных можно выбрать произвольно).
Тейлора, формулы (1) и (2)
⎧ 2 ⋅ (α − δ ) + (β − γ )
h2 h3 ⎪
yi +1 = yi + yi′ ⋅ h + yi′′ + yi′′′ + Mh4 ⎨ 8 ⋅ (α − δ ) + (β − γ )
2 6
⎪16 ⋅ (α + δ ) + (β + γ )
+ ⎩
h2 h3
yi −1 = yi − yi′ ⋅ h + yi′′ ′′′
− yi + Mh 4 Из первых двух уравнений α – δ = 0 и β – γ = 0 α = δ β=γ
2 6 16(2α) + (2β) = 0 β = -162 β = -162 γ = -162
yi +1 + yi −1 = 2 yi + yi′′h + Mh
2 4
δ=α
После сложения получается Выбираем α = 1, тогда β = -16, γ = -16, δ = 1.
yi +1 − 2 yi + y −1i Складываем все четыре уравнения, умноженные на соответствую-
yi′′ = 2
+ Mh 2 аппроксимационная формула 2-го по- щие коэффициенты
h yi + 2 − 16 yi +1 − 16 yi −1 + yi − 2 = −30 yi − 12"i h2 + Mh6
рядка. Можно получить еще более точную формулу
− y i − 2 + 16 y i −1 − 30 y i + 16 y i +1 − y i + 2
y i′′ = 2
+ Mh 4
12h
7 8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
