ВУЗ:
Составители:
Содержание
1. Введение ........................................................................................ 3
2. Численное дифференцирование. Аппроксимационные
формулы............................................................................................. 5
3. Задача Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения 1-го порядка. Метод Эйлера .......................................... 9
4. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений 1-го порядка. Методы Рунге-Кутта............................... 12
5. Краевые задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения 2-го порядка................................................................... 17
6. Метод Галеркина для обыкновенных дифференциальных
уравнений 2-го порядка................................................................... 21
Вопросы:........................................................................................... 28
Практика 29
1. Введение
4
Многие задачи, рассматриваемые в высшей математике, интересны
не только сами по себе, но и своими приложениями в технике и естест-
венных. Но естественные науки предлагают для решения математиче-
скими методами достаточно сложные задачи, которые чаще всего не
могут быть решены точно, аналитически. Такие задачи решают числен-
но – приближенно с некоторой погрешностью
. В зависимости от со-
держания задачи выбирают предельно допустимую погрешность, при
которой еще можно правильно оценить поведение решения, и находят
решение с необходимой точностью.
Математика осваивает подобные технологии в течение нескольких
веков, и за это время был сформирован математический аппарат чис-
ленного решения алгебраических уравнений, обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, уравнений
математической физики, численного
дифференцирования и интегрирования. Первые результаты в этом на-
правлении связаны с именами Л. Эйлера, И. Ньютона, но современные
численные методы были предложены совсем недавно, в конце XX века.
В вычислительной математике рассматривается не только вопрос,
как решить некоторый тип задач, но и как оценить погрешность, возни-
кающую при его
решении. Насколько отличается приближенное реше-
ние от точного решения той же самой задачи? Будет ли разница между
точным и приближенным решениями стремиться нулю при продолже-
нии и уточнении вычислительного процесса, т.е. будет ли численный
метод сходящимся? В технике очень часто исходные данные, исполь-
зуемые для решения задачи, бывают получены
опытным путем, т.е. в
них изначально присутствует некоторая погрешность эксперимента.
Как повлияет эта погрешность начальных данных на точность конечно-
го результата, на точность решения? Численные методы, обеспечиваю-
щие малые погрешность результата при малой ошибке в исходных дан-
ных, называется устойчивыми. Сходимость и устойчивость являются
главными достоинствами вычислительной схемы, но также
очень важна
скорость сходимости. Для того чтобы её оценить, стараются получить
конкретную зависимость погрешности результата вычислений от пара-
метров вычислений, обычно в виде
k
hM ⋅=
ε
, где М – некоторая по-
стоянная, неизвестная при вычислениях, h – шаг вычислений – пара-
метр, выбираемый исследователем самостоятельно. Тогда постоянная k
называется порядком метода. Чем выше порядок k, тем легче, уменьшая
шаг h добиться уменьшения погрешности.
: ..........................................................................................
3
Содержание Многие задачи, рассматриваемые в высшей математике, интересны
не только сами по себе, но и своими приложениями в технике и естест-
венных. Но естественные науки предлагают для решения математиче-
1. Введение ........................................................................................ 3 скими методами достаточно сложные задачи, которые чаще всего не
2. Численное дифференцирование. Аппроксимационные могут быть решены точно, аналитически. Такие задачи решают числен-
формулы............................................................................................. 5 но – приближенно с некоторой погрешностью. В зависимости от со-
3. Задача Коши для обыкновенного дифференциального держания задачи выбирают предельно допустимую погрешность, при
уравнения 1-го порядка. Метод Эйлера .......................................... 9 которой еще можно правильно оценить поведение решения, и находят
4. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных решение с необходимой точностью.
уравнений 1-го порядка. Методы Рунге-Кутта............................... 12 Математика осваивает подобные технологии в течение нескольких
5. Краевые задачи для обыкновенного дифференциального веков, и за это время был сформирован математический аппарат чис-
уравнения 2-го порядка................................................................... 17 ленного решения алгебраических уравнений, обыкновенных дифферен-
6. Метод Галеркина для обыкновенных дифференциальных циальных уравнений, уравнений математической физики, численного
уравнений 2-го порядка................................................................... 21 дифференцирования и интегрирования. Первые результаты в этом на-
Вопросы:........................................................................................... 28 правлении связаны с именами Л. Эйлера, И. Ньютона, но современные
Практика: .......................................................................................... 29 численные методы были предложены совсем недавно, в конце XX века.
В вычислительной математике рассматривается не только вопрос,
как решить некоторый тип задач, но и как оценить погрешность, возни-
кающую при его решении. Насколько отличается приближенное реше-
ние от точного решения той же самой задачи? Будет ли разница между
точным и приближенным решениями стремиться нулю при продолже-
нии и уточнении вычислительного процесса, т.е. будет ли численный
метод сходящимся? В технике очень часто исходные данные, исполь-
зуемые для решения задачи, бывают получены опытным путем, т.е. в
них изначально присутствует некоторая погрешность эксперимента.
Как повлияет эта погрешность начальных данных на точность конечно-
го результата, на точность решения? Численные методы, обеспечиваю-
щие малые погрешность результата при малой ошибке в исходных дан-
ных, называется устойчивыми. Сходимость и устойчивость являются
главными достоинствами вычислительной схемы, но также очень важна
скорость сходимости. Для того чтобы её оценить, стараются получить
конкретную зависимость погрешности результата вычислений от пара-
метров вычислений, обычно в виде ε = M ⋅ h k , где М – некоторая по-
стоянная, неизвестная при вычислениях, h – шаг вычислений – пара-
метр, выбираемый исследователем самостоятельно. Тогда постоянная k
называется порядком метода. Чем выше порядок k, тем легче, уменьшая
шаг h добиться уменьшения погрешности.
1. Введение
3 4
