ВУЗ:
Составители:
2. Численное дифференцирование. Аппроксимационные
формулы.
Пусть некоторое достаточное число раз дифференцируемая функ-
ция
)(xfy = задана на промежутке [a; b]. Число n – целое, n > 2. Раз-
делим ] на n равных частей длины отрезок [a; b
n
ab
h
−
= , h – шаг раз-
биения ем узловые точки x
0
= a, x
n
= b, x
i
= a+ ih, i меняется от
0 до n. Обозначим y
i
= f(x
i
). В классической формуле Тейлора
. Занумеру
m
Mhax
af
fx
af
++−+− ...)(
!2
)(''
)(
)('
2
качестве
,
i
xa =
1+
=
i
xx , hax
afxf +=
!1
)()(
возьмем сначала в
=
−
, а затем вы-
бираем
, hax −=
i
xa = ,
1−
=
i
xx
−
.
лы Получились две форму
m
ii
Mh
h
y
h
yh ++⋅++⋅ ...
62
3
'''
2
'''
(2.1)
iii
yyy +=
+
1
m
ii
Mh
h
y
h
yh ++⋅−+⋅ ...
62
3
'''
2
''
(2.2)
Константы M в этих формулах не обязаны быть одинаковыми, а
кроме того, они меняются в ости количества учитываемых сла-
гаемых в формуле Тейлора, но мы их одинаково, не учиты-
вая знака и величины. Из формулы (1) можно получить приближенное
значение первой производной в точке x
i
Mhhy
ii
+⋅+
2
1
Mhyy
ii
+−
+
iii
yyy −=
−
'
1
зависим
обозначаем
2'
1
yy
i
=
+
'
hy
i
=⋅
Mh
h
yy
y
ii
i
+
−
=
+1
'
- это аппро
, первого порядка точно
k
MhMhMh ===
1
ε
, k = 1.
5
ксимационная формула для y'
i
спра-
ва сти, т.к. ее погрешность
Эту формулу можно получить непосредственно из определения
производной
x
xyxxy
y
x
∆
−
∆
+
=
→∆
)()(
lim'
0
.
Заменим в определении ∆х наименьшим возможным положитель-
ным значением ∆х=h.
6
h
xyhxy
y
)()(
'
−
+
≈ , или для х = х
i
h
yy
y
ii
i
−
≈
+1
' , но в этом случае ничего нельзя сказать о величине
погрешности и о порядке точности формулы.
Из формулы (2.2) точно так же получается
Mh
h
yy
y
ii
i
+
−
=
−1
'
- это аппроксимация первой производной сле-
ва, она также 1-го порядка точности.
Можно получить аппроксимацию первой производной более высо-
кого порядка точности. Для этого вычтем из формулы (2.1) формулу
(2.2)
3'
11
3
2
'''
1
3
2
'''
1
2
2
2
Mhhyyy
Mh
h
yhyyy
Mh
h
yhyyy
iii
iiii
iiii
+⋅=−
−+⋅−=
++⋅+=
−+
−
+
−
2
11
'
2
Mh
h
yy
y
ii
i
+
−
=
−+
Получилась аппроксимация 2-го порядка. Можно получить аппрок-
симацию первой производной любого порядка точности. Для этого
нужно записать еще несколько вариантов формулы Тейлора для
2+i
y ,
2−i
y и т.д., а затем взять их линейную комбинацию так, чтобы слагае-
мые с h
2
, h
3
…h
k
сократились.
Можно аналогично получить аппроксимацию для производных
высших порядков. Например, y''=(y')', значит
h
yy
y
ii
i
''
1
''
−
=
+
, где
h
yy
y
ii
i
−
≈
+1
'
,
h
yy
y
ii
i
12
'
1
++
+
−
≈
, тогда
2
12
112
2
h
yyy
h
h
yy
h
yy
y
iii
iiii
i
+−
=
−
−
−
≈
′′
++
+++
2. Численное дифференцирование. Аппроксимационные y ( x + h) − y ( x )
формулы. y' ≈ , или для х = хi
h
Пусть некоторое достаточное число раз дифференцируемая функ-
ция y = f (x) задана на промежутке [a; b]. Число n – целое, n > 2. Раз-
y − yi
yi ' ≈ i +1 , но в этом случае ничего нельзя сказать о величине
b−a h
делим отрезок [a; b] на n равных частей длины h = , h – шаг раз- погрешности и о порядке точности формулы.
n Из формулы (2.2) точно так же получается
биения. Занумеруем узловые точки x0= a, xn= b, xi= a+ ih, i меняется от yi − yi −1
0 до n. Обозначим yi = f(xi). В классической формуле Тейлора yi' = + Mh - это аппроксимация первой производной сле-
f ' (a) f ' ' (a) h
f ( x) = f (a) + (x − f ) + ( x − a ) 2 + ... + Mhm ва, она также 1-го порядка точности.
1! 2! Можно получить аппроксимацию первой производной более высо-
возьмем сначала в качестве a = xi , x = xi +1 , x − a = h , а затем вы- кого порядка точности. Для этого вычтем из формулы (2.1) формулу
бираем a = xi , x = xi −1 , x − a = − h . (2.2)
Получились две формулы h2
yi +1 = yi + y ⋅ h + y
'
i
''
i + Mh 3
h2 h3 2
yi +1 = yi + y ⋅ h + y + yi''' ⋅ + ... + Mh m −
' ''
i i (2.1)
2 6
2 3 h2
'' h '' ' h yi −1 = yi − yi' ⋅ h + yi'' − Mh 3
yi −1 = yi − yi ⋅ h + yi
'
− yi ⋅ + ... + Mh m (2.2) 2
2 6
Константы M в этих формулах не обязаны быть одинаковыми, а yi +1 − yi −1 = 2 yi' ⋅ h + Mh 3
кроме того, они меняются в зависимости количества учитываемых сла- y − yi −1
гаемых в формуле Тейлора, но мы обозначаем их одинаково, не учиты- yi' = i +1 + Mh 2
вая знака и величины. Из формулы (1) можно получить приближенное 2h
значение первой производной в точке xi Получилась аппроксимация 2-го порядка. Можно получить аппрок-
симацию первой производной любого порядка точности. Для этого
yi +1 = yi + y ⋅ h + Mh
' 2
i
нужно записать еще несколько вариантов формулы Тейлора для y i + 2 ,
yi' ⋅ h = yi +1 − yi + Mh 2 y i − 2 и т.д., а затем взять их линейную комбинацию так, чтобы слагае-
y −y мые с h2, h3…hk сократились.
yi' = i +1 i + Mh - это аппроксимационная формула для y'i спра-
h Можно аналогично получить аппроксимацию для производных
ва, первого порядка точности, т.к. ее погрешность высших порядков. Например, y''=(y')', значит
ε = Mh = Mh = Mh , k = 1.
1k
yi' +1 − yi' y − yi y − yi +1
Эту формулу можно получить непосредственно из определения yi'' = , где yi' ≈ i +1 , yi' +1 ≈ i + 2 , тогда
h h h
y ( x + ∆x) − y ( x) yi + 2 − yi +1 yi +1 − yi
производной y ' = lim .
∆x −
∆x →0
h h y − 2 yi +1 + yi
Заменим в определении ∆х наименьшим возможным положитель- yi′′ ≈ = i+2
ным значением ∆х=h.
h h2
5 6
