Вычислительная математика. Луппова Е.П - 6 стр.

                    b−a                                                                           числений и дальше, то получаете далекие от точного решения числен-
ε = n ⋅ Mh 2 =          ⋅ Mh 2 = M (b − a) ⋅ h ; ε = M ⋅ h , т.е. общий ре-                       ные результаты. Этот вывод справедлив и для других численных мето-
                     h
                                                                                                  дов.
зультат вычислений получается 1-го порядка точности, несмотря на то,
                                                                                                       Современная наука предложила много других методов для решения
что сама расчетная формула – 2-го порядка.
                                                                                                  задачи Коши. Но метод Эйлера не потерял своей актуальности благода-
      Оценка погрешности ε = n ⋅ Mh 2 является достаточно приблизи-                               ря простоте использования и высокой сходимости. Этот метод приме-
тельной, т.к. во-первых, на каждом шаге при оценке погрешности Mh2                                няют даже для разрывных функций f ( x, y ) , что не проходит с другими
константа M не остается одинаковой, а во-вторых, при вычислениях
                                                                                                  методами.
 f ( xi , y i ) используется приближенное значение       yi ≈ ~
                                                              yi  и
 f ( x i , y i ) ≈ f ( xi , ~
                            y i ) , тем не менее, принято оценивать погрешность                             ε
метода именно так, считая, что M-общее это наибольшее значение М на
шагах, а f ( xi , yi ) ≈ f ( xi , ~
                                  yi ) + f y′( xi , ~
                                                    yi ) ⋅ Mh 2 + 0(h3 ) = f ( xi , ~
                                                                                    yi ) + Mh 2
по формуле Тейлора.
       На примере метода Эйлера нужно обратить внимание еще на
одну закономерность, которая прослеживается и в других методах, - за-
висимость точности результата от величины шага h. Вычисляя y1, мы
полагали, что значение y0 определено точно, но исходные данные x0, y0
бывают найдены из некоторых дополнительных измерений и допуска-
ют определенную ошибку, назовем ее α, тогда значение производной
              y1 − y0        y − y +α        y −y α
      y0′ =           + Mh = 1 0      + Mh = 1 0 + + Mh .
                 h               h             h  h
                                                                                   α                                                                        h
     И ошибка при вычислении производной имеет вид ε =                                 + Mh .                          hmin
                                                                                   h
Рассмотрим эту зависимость графически. Это гипербола, нас интересу-
ет положительная ветвь.                                                                                            Рис.3.1. Уравнение асимптоты ε = M ⋅ h
    Для сравнительно больших значений шага h погрешность убывает с
уменьшением шага, но если продолжать уменьшать шаг меньше неко-
                                                      α                                              4. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных
торого критического значения hmin =                       , то погрешность начинает
                                                     M                                            уравнений 1-го порядка. Методы Рунге-Кутта
резко                       расти.                     Таким                       образом,
                                                                                                      Методы Рунге-Кутта – одношаговые методы, существенно более
          α                  α M             α
ε min =          ⋅ Mhmin   =     +M               = 2 α ⋅M .                                      точные, чем метод Эйлера.
          hmin                 α             M                                                        Общая схема получения методов. Идея методов Рунге-Кутта состо-
    Вывод прост и понятен: никакая вычислительная наука не позволит                               ит в том, что в отличие от метода Эйлера приближенное значение на
вам получить результат существенно точнее, чем те исходные данные,                                следующем шаге вычисляется вначале в некоторых промежуточных
которые вы используете. Если же вы настаиваете и уменьшаете шаг вы-                               точках, а затем усредняется:


                                             11                                                                                    12