Вычислительная математика. Луппова Е.П - 8 стр.

свободных, линейных и квадратных в этих формулах, таким образом,              y − yh = Mh k
погрешность полученных методов на шаге имеет порядок точности 3.
∆ m (h) = O(h 3 ) . Полная погрешность метода на всем интервале [a; b],       −
                                                                                                  Mh k
за n шагов ∆ = O(h ) . 2                                                      y − yh =
                                                                                      2           2k
     Основной метод Рунге-Кутта получается при r=4. Вывод формул
аналогичен только что рассмотренному, но в формуле Тейлора потре-                             ⎛    1⎞
                                                                              yh − y h = Mh k ⎜1 − k ⎟
буется продолжить разложение вплоть до слагаемых 4-го порядка.                       2        ⎝ 2 ⎠
Можно получить
                                                                                                                (          )
                                                                                            k
                                                                                         Mh
                     h                                                        yh − y h = k 2 k − 1
    ym +1 = ym +        (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) , где                                      2
                     6                                                               2

    k1 =   f ( xm , y m )                                                     yh − y h = ε h 2 k − 1    (             )
                      h        hk                                                         2         2
    k2 =   f ( xm + , ym + 1 )
                      2         2
                      h        hk                                                         yh − y h
    k3 =   f ( xm + , ym + 2 )
                      2         2                                             εh =                  2
                                                                                                            , т.е. погрешность второго пересчета можно оценить.
                                                                                          2 −1k
    k4 =   f ( xm + h, ym + k3h)                                                  2
                                                                          Некоторая условность полученной оценки происходит от того, что в
    Погрешность метода на шаге ∆ m (h) = O (h 5 ) , общая погрешность     формулах для ε h и ε h могут оказаться различные константы М. Но
метода ∆ = O (h 4 ) .                                                                                                 2

     Формулы погрешности, полученные для методов Рунге-Кутта, по-         лучшего способа оценки погрешности придумано не было.
зволяют определить порядок метода, т.е. насколько быстро меняется            В случае метода Рунге-Кутта, k = r = 4 , и оценить погрешность
погрешность при изменении шага вычислений, но не дают возможность         можно как
оценить саму величину погрешности. К. Рунге предложил практическое
правило для оценки величины погрешности, в случае если задан поря-                    yh − y h                      yh − y h
док метода. Оценка осуществляется двойным пересчетом.                         εh =                  2
                                                                                                            =              2
                                                                                                                               .
     Предположим, вы решаете задачу методом, порядок точности кото-               2       2 −14
                                                                                                                      15
рого равен k. Т.е. разница между точным решением y и приближенным            Отсюда получается правило регулировки шага вычислений. Если
решением, полученным с шагом h        yh       выражается         так     вычисленная таким способом ε h << ε , где ε – наперед заданная пре-
ε h = y − y h = Mh , тогда если повторить решение той же задачи, но с
                  k
                                                                                                                                   2

           h                                                              дельно допустимая погрешность вычислений, то шаг удваивается, а ес-
шагом        , вы получите более точное решение           y h , причем    ли ε h > ε , то шаг измельчается.
           2                                               2                  2
                           k      k
                 ⎛h⎞  Mh
ε h = y − yh = M ⎜ ⎟ = k
  2        2     ⎝2⎠   2
        Рассмотрим разность по абсолютной величине

                                          15                                                                                           16