Вычислительная математика. Луппова Е.П - 12 стр.

     n        b                                                b                                               φ2(x) и φ3(x) – невязки. Однако имеются и некоторые общие способы
    ∑ ck ⋅ ∫ (ϕk′′ + p ⋅ ϕk′ + q ⋅ ϕk ) ⋅ ϕi ⋅ dx = ∫ f ⋅ϕi ⋅ dx                                               выбора таких базисных систем. Рассмотрим два таких случая.
    k =1      a                                                a                                                   1) Специальный базис;
                                 b                                                            b                    2) Кусочно-линейный базис (метод конечных элементов).
    Обозначим            aik = ∫ (ϕ k′′ + p ⋅ ϕ k′ + q ⋅ ϕ k ) ⋅ ϕ i ⋅ dx ,             bi = ∫ f ⋅ϕ i ⋅ dx ,       Случай 1. Выбор специального базиса связан с понятием собствен-
                                 a                                                            a                ных элементов (собственных функций) дифференциальных уравнений.
                                                                             n                                 Допустим, что краевые условия таковы, что дифференциальный опера-
тогда система моментных уравнений примет вид                                ∑a
                                                                            k =1
                                                                                   ik   c k = bi для i=1,      тор L0 ( y ) = y′′ , действующий на функцию y(x), удовлетворяющую этим
2,…,n.                                                                                                         условиям, есть самосопряженный оператор, т.е. скалярное произведе-
    Запишем систему в привычном виде                                                                           ние (y'', φ)= (y, φ'') для любых функций y(x), φ(x), удовлетворяющих
                                                                                                               краевым условиям. Самосопряженный оператор имеет чисто точечный
    i =1              a11c1 + a12c2 + ... + a1ncn = b1               ⎫                                         спектр, т.е. существует конечная система собственных чисел λ1, λ2, …, λn
    i=2               a21c2 + a22c2 + ... + a2 ncn = b2 ⎪⎪                                                     и соответствующая система собственных функций φ1, φ2, …, φn, таких
                                                                     ⎬                                         что L0 (ϕ k ) = ϕ k′′ = λ k ϕ k ( x) , где 1 ≤ k ≤ n.
    ....... ......... ...............................................⎪
    i=n               an1c1 + an 2c2 + ... + anncn = bn ⎪⎭                                                         Система {ϕ k } образует ортогональный базис в L2 на (a; b). Эту сис-
                                                                                                               тему и принимают за базисную систему в методе Галеркина.
    Это система линейных алгебраических уравнений, число неизвест-                                                 Примеры:
ных совпадает с числом уравнений. Если такую систему решить, можно                                                 1) L0 ( y ) = y ′′ = λy   y(a)=0 y(b)=0. Ищем решение, удовле-
найти коэффициенты c1, c2, …, cn и записать ответ, приближенное реше-                                          творяющее этим условиям – первая краевая задача.
                                                         n
                                                                                                                            k 2π 2                       kπ
ние однородной краевой задачи y n =                     ∑c     k   ⋅ϕ k .                                          λk =               , ϕ k ( x) = sin        ( x − a) , k=1, 2, …, n.
                                                        k =1                                                               (b − a) 2
                                                                                                                                                        b−a
    При решении краевой задачи методом Галеркина можно выделить
                                                                                                                   2) L0 ( y ) = y ′′                y'(a)=0,          y'(b)=0
три этапа:
               1)    выбор базисной системы φ1(x), φ2(x), …;                                                                         kπ
                                                                                                                   ϕ k ( x) = cos          ( x − a)
               2)    численное решение моментных уравнений;                                                                        b−a
               3)    предельный переход при n→∞.                                                                   3) L0 ( y ) = y ′′                y(a)=0, y'(b)=0
    В практической задаче перед исследованием реально возникают
только первые два этапа. Будем считать, что с решением системы ли-
нейных уравнений трудностей не возникает. Исследуем подробнее                                                      Приближения yn(x) в методе Галеркина могут обладать следующей
пункт 1. Теоретически имеем: для любых однородных краевых условий                                              особенностью: несмотря на то, что теоретически yn(x)→ y(x) при n→∞
                                                                                                               может случиться, что y3(x) дает лучшее приближение, чем y4(x), …, y7(x)
A0 y (a ) + A1 y′(a ) = 0                                                                                      и лишь y8(x) лучшее, чем y3(x). Это связано с тем, что сходимость yn(x)
                          всегда можно найти базисную систему функций,
B0 y (b ) + B1 y′(b ) = 0                                                                                      не является монотонной. Имеются необходимые и достаточные условия
удовлетворяющих этим краевым условиям. Однако на практике выбор                                                монотонной сходимости. В частности, система, образующая ортого-
этой системы может представить значительные затруднения. Чаще в ба-                                            нальный базис, условиям минимальности, обеспечивающим монотон-
зис входит две – три базисные функции, которые выбирают из следую-                                             ность, удовлетворяет.
щих соображений: φ1(x) имитирует предполагаемое поведение ответа, а

                                                   23                                                                                                   24