Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 18 стр.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


        Определение 19. Образом множества U при линейном преобразовании
A называется множество A(U ) = {v = Au u Î U } .

        Теорема 7. При линейном преобразовании образ компактного выпуклого
непустого             множества            является          непустым            компактным              выпуклым
множеством.

        Доказательство. Пусть v1 , v 2 Î A(U ) Þ vi = Aui , i = 1,2 . Для всех a Î [0,1]
выполнено

                          a v1 + (1 - a ) v2 = a Au1 + (1 - a )Au 2 = A(a u1 + (1 - a )u 2 ) .

       В       силу      выпуклости            множества             U       имеет         место        включение
a u1 + (1 - a )u 2 Î U . Тогда a v1 + (1 - a ) v2 Î A(U ) и выпуклость множества A(U )

доказана.

       Компактность множества A (U ) является следствием непрерывности

линейного преобразования.

        Пример 9. Пусть

                                      æ a 0ö                  ìïæ u1 ö 1 2              üï
                                      ç
                           n = 2, A = ç    ÷
                                           ÷ , U = O (0, 1) =  í ç
                                                                 ç 2÷
                                                                     ÷ (u ) + (u  )
                                                                                 2 2
                                                                                     £ 1 ý.
                                      è 0 bø                   ïîè u ø                   ïþ

       Тогда

                        ìïæ v1 ö æ a 0 ö æ u1 ö 1 2                üï ìïæ v1 ö æ au1 ö                      üï
           A(O (0,1)) = íçç 2 ÷÷ = çç  ÷÷ çç 2 ÷÷ (u ) + (u 2 ) £ 1ý = íçç 2 ÷÷ = çç 2 ÷÷ (u1 ) + (u 2 ) £ 1ý =
                                                               2                               2        2

                         ïîè v ø è 0 b ø è u ø                      ïþ ïîè v ø è bu ø                        ïþ
                                           ìïæ v1 ö              2        2
                                                                               üï
                                                       2 æv ö      æ v2 ö
                                                            1
                                      = íçç 2 ÷÷ Î R çç ÷÷ + çç ÷÷ £ 1ý .
                                            ïîè v ø      èaø èbø                ïþ

       1.7. Выпуклые оболочки. В этом пункте сформулируем и докажем одно
свойство выпуклых множеств, которое иногда непосредственно берется за
определение выпуклого множества.

       Определение 20. Пусть u1 ,L, u m Î R n и числа a1 ³ 0,L , a m ³ 0 таковы, что
m                            m

åa i = 1 . Точка u = åai ui называется выпуклой комбинацией точек u1 , L, u m Î R n .
i =1                         i =1



                                                           18