Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
17
Из условия (1) следует, что Uu Î
a
и множество U выпукло. Теорема
доказана.
Заметим, что объединение выпуклых множеств не обязательно выпукло.
Теорема 5. Любая линейная комбинация конечного числа выпуклых
множеств выпукла.
Доказательство. Пусть -Ì
n
m
RAA ,,
1
L
выпуклые множества и
i
m
i
i
AA
å
=
=
1
l
.
Для всех Avu
Î
, справедливо представление
()()()()
miAaaavau
i
v
i
u
i
m
i
v
ii
m
i
u
ii
,,1,,,,
11
L=Î==
åå
==
ll
.
Тогда при всех
[
]
1,0Î
a
имеем
()()()
()
()
[]
ååå
===
-+=-+=-+
m
i
v
i
u
ii
m
i
v
ii
m
i
u
ii
aaaavu
111
1)1()1(
aallalaaa
.
Из выпуклости множества
i
A следует
(
)
(
)
(
)
miAaa
i
v
i
u
i
,,1,1
L
=Î-+
aa
, что и
означает Avu
Î
-
+
)1(
a
a
. Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть
n
RU Ì - выпуклое множество и 0,0
³
³
b
a
. Тогда
(
)
UUU
baba
+=×+ . (2)
Доказательство. Вложение
(
)
UUU
baba
+Ì×+ было доказано в ранее в
общем случае без предположения о выпуклости множества U и
положительности чисел
a
и
b
. В условиях теоремы докажем обратное
вложение. Будем предполагать, что
0
>
+
b
a
. В противном случае
0
=
=
b
a
и
формула (2) очевидна. Пусть UUu
b
a
+
Î
. Тогда в силу 0
>
+
b
a
имеем
()
UuuUuuuuuuu Î
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
+
ÞÎ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
+
+=+=
21212121
,,
ba
b
ba
a
ba
b
ba
a
baba
.
Таким образом,
Uu
ba
+Î , и теорема доказана.
Пусть
n
RU Ì и
A
- квадратная матрица
-
n
го порядка. 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


     Из условия (1) следует, что ua Î U и множество U выпукло. Теорема
доказана.

     Заметим, что объединение выпуклых множеств не обязательно выпукло.

     Теорема 5. Любая линейная комбинация конечного числа выпуклых
множеств выпукла.
                                                                                                            m
     Доказательство. Пусть A1 ,L, Am Ì R n - выпуклые множества и A = å li Ai .
                                                                                                            i =1



     Для всех u, v Î A справедливо представление
                               m                 m
                        u = å li a i(u ) , v = å li a i(v ) , ai(u ) , ai(v ) Î Ai , i = 1,L , m .
                              i =1              i =1



     Тогда при всех a Î [0,1] имеем

             au + (1 - a )v = a å li a i(u ) + (1 - a )å li a i(v ) = å li [aa i(u ) + (1 - a )a i(v ) ].
                                     m                       m              m


                                     i =1                   i =1            i =1



     Из выпуклости множества Ai следует aa i(u ) + (1 - a )a i(v ) Î Ai , i = 1, L, m , что и
означает au + (1 - a )v Î A . Теорема доказана.

      Теорема 6. Пусть U Ì R n - выпуклое множество и a ³ 0, b ³ 0 . Тогда

                                                     (a + b ) × U = aU + bU .                                          (2)

      Доказательство. Вложение (a + b ) × U Ì aU + bU было доказано в ранее в
общем     случае       без         предположения                   о   выпуклости              множества           U    и
положительности чисел a и b . В условиях теоремы докажем обратное
вложение. Будем предполагать, что a + b > 0 . В противном случае a = b = 0 и
формула (2) очевидна. Пусть u Î a U + b U . Тогда в силу a + b > 0 имеем

                                 æ a          b      ö                  æ a          b      ö
     u = a u1 + b u 2 = (a + b )çç      u1 +    u 2 ÷÷, u1 , u 2 Î U Þ çç      u1 +    u 2 ÷÷ Î U .
                                 èa + b      a+b ø                      èa + b      a+b ø

      Таким образом, u Î (a + b )U , и теорема доказана.

      Пусть U Ì R n и A - квадратная матрица n - го порядка.


                                                           17

Страницы