Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
16
Пример 7. Множества
(
)
(
)
(
)
(
)
gggg
,,,,,,, cccc
-+-+
GGGG выпуклы.
Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству
выпуклости множества
(
)
g
,cG в предыдущем примере.
Векторам 0,, ¹Î dRdv
n
поставим в соответствие множества
(
)
{
}
[
)
{
}
+¥Î+=+¥¥-Î+=
+
,0,,
11
ttdvMttdvM ,
которые будем называть, соответственно, прямой и лучом, проходящими через
точку
v
в направлении вектора d .
Пример 8. Множества
+
11
, MM
выпуклы. Действительно, для всех
]1,0[
Î
a
и
(
)
0,,,,
21
1
212211
³Î+=+= ttRttdtvudtvu
справедливо
(
)
[
]
dtvdttvvuuw
aa
aaaaaa
+=-++-+=-+=
2121
1)1()1(
В силу
(
)
0
1
³Î
aa
tRt отсюда следует требуемое включение
(
)
+
ÎÎ
11
MwMw
aa
.
1.6. Операции над выпуклыми множествами. К числу операций над
выпуклыми множествами, сохраняющих их выпуклость, относятся операции
пересечения, взятия линейной алгебраической комбинации и линейного
преобразования.
Теорема 4. Пересечение любого числа выпуклых множеств является
выпуклым множеством.
Доказательство. Пусть множества BÎÌ
b
b
,
n
RU , где
B
– множество
индексов произвольной мощности, выпуклы в
n
R
. Покажем, что множество
I
BÎ
=
b
b
UU
выпукло. Для любых Uuu Î
21
, справедливы включения ,,
21
b
Uuu Î
B
Î
"
b
. В силу выпуклости каждого множества
b
U имеет место включение
(
)
BÎ"Î-+=
baa
ba
,1
21
Uuuu
,
[
]
1,0Î"
a
. (1) 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


      Пример           7.      Множества                 G + (c, g ), G - (c, g ), G + (c, g ), G - (c, g )    выпуклы.
Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству
выпуклости множества G (c, g ) в предыдущем примере.

      Векторам v, d Î R n , d ¹ 0 поставим в соответствие множества

                         M 1 = { v + td t Î (- ¥,+¥ )}, M 1+ = {v + td t Î [0,+¥ )},

которые будем называть, соответственно, прямой и лучом, проходящими через
точку v в направлении вектора d .

            Пример 8. Множества M 1 , M 1+ выпуклы. Действительно, для всех

                      a Î [0,1] и u1 = v + t1 d , u 2 = v + t 2 d , t1 , t 2 Î R 1    ( t1 , t 2 ³ 0 )

справедливо

                   wa = au1 + (1 - a )u 2 = av + (1 - a )v + [at1 + (1 - a )t 2 ] d = v + ta d

      В     силу       ta Î R 1 (ta ³ 0 )       отсюда            следует             требуемое               включение
wa Î M 1    (w
             a   Î M 1+ ).

      1.6. Операции над выпуклыми множествами. К числу операций над
выпуклыми множествами, сохраняющих их выпуклость, относятся операции
пересечения,          взятия линейной алгебраической комбинации и линейного
преобразования.

        Теорема 4. Пересечение любого числа выпуклых множеств является
выпуклым множеством.

      Доказательство. Пусть множества U b Ì R n , b Î B , где B – множество
индексов произвольной мощности, выпуклы в R n . Покажем, что множество
U=   IU b
     b ÎB
             выпукло. Для любых u1 , u2 Î U справедливы включения u1 , u2 ÎU b ,

"b Î B . В силу выпуклости каждого множества U b имеет место включение

                                    ua = au1 + (1 - a )u2 Î U b , "b Î B , " a Î [0,1] .                            (1)



                                                          16

Страницы