Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
14
Покажем, что введенное понятие действительно является расстоянием,
т.е. что для любых множеств
n
RWVU Ì,, справедливо
1)
(
)
,0
hUV
³
;
2)
(
)
,0
hUVUV
=Û=
;
3)
(
)
(
)
,,
hUVVU
;
4)
(
)
(
)
(
)
,,,
hUWhUVhVW
£+
.
Подробного доказательства требует лишь пункт 4). Приведем его. Пусть
(
)
(
)
,,,
hUVhVW
ab
==
.
Тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Þ++=++ÌÞ+Ì+Ì
baabba
,0,0,0,0,,0 OWOOWUOWVOVU
(
)
ba
++Ì ,0OWU , (1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Þ++=++ÌÞ+Ì+Ì
baabab
,0,0,0,0,,0 OUOOUWOUVOVW
(
)
ba
++Ì ,0OUW . (2)
Из вложений (1) и(2) следует доказываемое свойство.
Пример 4. Для любого компактного множества
n
UR
Ì
имеют место
равенства (без доказательства)
{
}
(
)
(
)
(
)
0,0,11,{0},
hOhUU
==
.
1.5. Определение выпуклого множества. Примеры.
Геометрический смысл
выпуклости множества состоит
в том, что выпуклое множество
вместе с любыми двумя точками
содержит и отрезок, их
соединяющий
Например, левое множество на рис. 1 выпукло, а правое нет. Дадим
формальное определение выпуклого множества.
Определение 18. Множество
n
RU Ì называется выпуклым, если для всех
[
]
1,0,,
21
ÎÎ
a
Uuu справедливо включение Uuu Î-+
21
)1(
aa
. Пустое и
одноточечное множества принимаются выпуклыми по определению.
1
u
2
u
2
u
Рис. 1
1
u
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


         Покажем, что введенное понятие действительно является расстоянием,
т.е. что для любых множеств U , V ,W Ì R n справедливо
         1) h (U ,V ) ³ 0 ;

         2) h (U ,V ) = 0 Û U = V ;

         3) h (U ,V ) = r (V ,U ) ;

         4) h (U ,W ) £ h (U ,V ) + h (V ,W ) .

         Подробного доказательства требует лишь пункт 4). Приведем его. Пусть
                                         a = h (U ,V ) , b = h (V ,W ) .

         Тогда
        U Ì V + O (0,a ), V Ì W + O (0, b ) Þ U Ì W + O (0, b ) + O (0, a ) = W + O (0,a + b ) Þ

                                                  U Ì W + O (0, a + b ) ,                                (1)
        W Ì V + O (0, b ), V Ì U + O (0,a ) Þ W Ì U + O (0, b ) + O (0,a ) = U + O (0,a + b ) Þ

                                                  W Ì U + O (0, a + b ) .                                (2)
         Из вложений (1) и(2) следует доказываемое свойство.
         Пример 4. Для любого компактного множества U Ì R n имеют место
равенства (без доказательства) h ({0} , O (0,1)) = 1, h ({0},U ) = U .

       1.5. Определение выпуклого множества. Примеры.
                                                                           Геометрический              смысл
                           u2                                u2   выпуклости множества состоит
                                                                  в том, что выпуклое множество
              u1
                                                             u1   вместе с любыми двумя точками
                                                                  содержит         и        отрезок,      их
                                Рис. 1
                                                                  соединяющий

       Например, левое множество на рис. 1 выпукло, а правое нет. Дадим
формальное определение выпуклого множества.

       Определение 18. Множество U Ì R n называется выпуклым, если для всех
u1 , u 2 Î U , a Î [0,1]    справедливо           включение        au1 + (1 - a )u 2 ÎU .     Пустое       и
одноточечное множества принимаются выпуклыми по определению.

                                                        14

Страницы