Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
12
(
)
(
)
(
)
(
)
12121211221212
,,,,
RRuOuuRROuROuROuuRR
£+ÞÎ++Þ+Ì++.
Докажем обратное вложение. Пусть
(
)
2121
, RRuuOu ++Î . Тогда
(
)
2121
0 RRuuu +£+-=£
l
.
В случае, если 0
=
l
, то
(
)
(
)
221121
,, RuORuOuuu +Î+= . Пусть теперь 0
>
l
.
Тогда возможно представление
2,1,0,
21
=£<+= iR
ii
llll
.
Обозначим
()
()
()
()
21
2
2
2
21
1
1
1
, uuuuuuuuuu --+=--+=
l
l
l
l
.
Справедливо равенство
() ()
()()
21
21
2
221
1
1
uuuuuuuuuuu +=
ú
û
ù
ê
ë
é
--++
ú
û
ù
ê
ë
é
--+=
l
l
l
l
.
Заметим, что
()
()
()
2,1,
2121
=£==--=-Þ--+= iRuuuuuuuuuu
ii
ii
i
i
i
i
i
ll
l
l
l
l
l
l
.
Таким образом,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
221121212211
,,,,, RuORuORRuuORuORuOu +Ì++Þ+Î ,
и равенство (1) доказано.
Теорема 3. Имеет место равенство
(
)
(
)
RkOROk ,0,0 =× .
Доказательство. При 0
=
k справедливость доказываемого равенства
очевидна. Пусть 0
¹
k и
(
)
ROku ,0×Î . Тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
RkOuRkukkuuROukuu ,0,0,
0000
ÎÞ£==ÞÎ=
.
Обратно, если
(
)
RkOu ,0Î , полагаем
() ()
ROkukvuROvR
k
Rk
u
k
vu
k
v ,0,0
11
×ÎÞ=ÞÎÞ=££Þ=
.
Теорема доказана.
Из теорем 2,3 следует, что любой шар
(
)
RuO ,
0
можно представить в виде
(
{
}
(
00
,0,1
OuRuRO
=+×
. 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


       £ R1 + R2 Þ u Î O ( u1 + u2 , R1 + R2 ) Þ O ( u1 , R1 ) + O ( u2 , R2 ) Ì O ( u1 + u2 , R1 + R2 ) .

      Докажем обратное вложение. Пусть u Î O (u1 + u 2 , R1 + R2 ) . Тогда
                                             0 £ l = u - (u1 + u2 ) £ R1 + R2 .

      В случае, если l = 0 , то u = u1 + u 2 Î O (u1 , R1 ) + O (u 2 , R2 ) . Пусть теперь l > 0 .
Тогда возможно представление
                                            l = l 1 + l 2 , 0 < l i £ Ri , i = 1,2 .

      Обозначим
                                            l1
                             u (1) = u1 +      (u - u1 - u2 ), u ( 2 ) = u2 + l2 (u - u1 - u2 ) .
                                            l                                 l
      Справедливо равенство
                             é    l                 ù é      l                ù
                         u = êu1 + 1 (u - u1 - u 2 )ú + êu2 + 2 (u - u1 - u2 )ú = u (1) + u ( 2 ) .
                             ë     l                û ë       l               û

      Заметим, что
                         li                                 l                l
        u (i ) = u i +      (u - u1 - u 2 ) Þ u (i ) - u i = i u - u1 - u 2 = i l = l i £ Ri , i = 1,2 .
                         l                                   l                l
      Таким образом,
               u Î O(u1 , R1 ) + O(u 2 , R2 ) Þ O(u1 + u 2 , R1 + R2 ) Ì O (u1 , R1 ) + O(u 2 , R2 ) ,

и равенство (1) доказано.
      Теорема 3. Имеет место равенство
                                                  k × O (0, R ) = O (0, k R ) .

      Доказательство. При k = 0 справедливость доказываемого равенства
очевидна. Пусть k ¹ 0 и u Î k × O (0, R ) . Тогда
               u = ku (0 ) , u (0 ) Î O (0, R ) Þ u = ku (0 ) = k u (0 ) £ k R Þ u Î O (0, k R ) .

     Обратно, если u Î O (0, k R ) , полагаем

                  1        1     kR
            v=      uÞ v £   u £    = R Þ v Î O (0, R ) Þ u = kv Þ u Î k × O (0, R ) .
                  k        k     k

      Теорема доказана.
      Из теорем 2,3 следует, что любой шар O (u 0 , R ) можно представить в виде
                                              O (u0 , R) = {u0 } + R × O (0,1) .


                                                               12

Страницы