Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
11
Теорема 1. Пусть множества
n
m
RAA Ì,,
1
L
компактны. Тогда их любая
алгебраическая комбинация
å
=
=
m
i
ii
AA
1
l
является компактным множеством.
Доказательство. Докажем ограниченность множества
A
.
Действительно, имеют место включения
(
)
miAOA
ii
,,1,,0
L
=Ì . Из
компактности множеств
n
m
RAA Ì,,
1
L
следует их ограниченность и
конечность величин
miA
i
,,1,
L
=
.
Тогда для всех Aa
Î
справедливо неравенство
÷
ø
ö
ç
è
æ
×ÌÞ×££=
åååå
====
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
AOAAaaa
1111
,0
llll
,
что и означает ограниченность множества
A
.
Докажем замкнутость множества
A
. Пусть последовательность
{
}
,
j
x
L
,2,1, =Î jAx
j
сходится к
x
. Надо доказать, что Ax
Î
. Справедливо
представление
mijAaax
iij
m
i
ijij
,,1,,2,1,,
1
LL ==Î=
å
=
l
.
В силу компактности множеств
i
A можно считать, что
{
}
miAaa
iiij
,,1,
0
L
=ή . Тогда
()
Aaaax
m
i
ii
m
i
ij
j
i
m
i
iji
j
Î==
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
ååå
==
¥®
=
¥®
1
0
11
limlim
lll
.
Теорема доказана.
Теорема 2. Имеет место равенство
(
)
(
)
(
)
21212211
,,, RRuuORuORuO ++=+ . (1)
Доказательство. Пусть
(
)
(
)
2211
,, RuORuOu +Î . Тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Þ£-£-ÞÎÎ+=
2
2
21
1
122
2
11
121
,,,,,, RuuRuuRuOuRuOuuuu
()
()()
()
()
(
()
(
() ()
121212
12121212
uuuuuuuuuuuuuuu
-+=+-+=-+-£-+-£
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


       Теорема 1. Пусть множества A1 , L, Am Ì R n компактны. Тогда их любая
                                                          m
алгебраическая комбинация A = å li Ai является компактным множеством.
                                                         i =1



        Доказательство.                              Докажем               ограниченность               множества            A.

Действительно,                  имеют                  место          включения            Ai Ì O (0, Ai ), i = 1,L , m .    Из

компактности                множеств                   A1 ,L, Am Ì R n         следует         их     ограниченность          и
конечность величин Ai , i = 1,L, m .

        Тогда для всех a Î A справедливо неравенство
                                m                  m        m
                                                                             æ m            ö
                        a =    ål a     i   i   £ å li ai £å li × Ai Þ A Ì O ç 0, å li × Ai ÷ ,
                               i =1               i =1     i =1              è i =1         ø

что и означает ограниченность множества A .

        Докажем замкнутость множества A . Пусть последовательность {x j },

 x j Î A, j = 1,2,L         сходится к x . Надо доказать, что x Î A . Справедливо

представление
                                                 m
                                       x j = å li a ij , a ij Î Ai , j = 1,2,L , i = 1,L , m .
                                                i =1



       В         силу      компактности                         множеств           Ai      можно             считать,       что
{a } ® a
  ij        i0   Î Ai , i = 1,L, m . Тогда

                                                æ m       ö m
                                      x = lim ç å li a ij ÷ = å li lim (aij ) = å li ai 0 Î A .
                                                                                 m

                                           j ®¥
                                                è i =1    ø i =1 j ®¥           i =1



        Теорема доказана.

        Теорема 2. Имеет место равенство
                                                  O (u1 , R1 ) + O (u 2 , R2 ) = O (u1 + u 2 , R1 + R2 ) .                  (1)
        Доказательство. Пусть u Î O (u1 , R1 ) + O (u 2 , R2 ) . Тогда
           u = u (1) + u (2 ) , u (1) Î O (u1 , R1 ), , u (2 ) Î O (u 2 , R2 ) Þ u1 - u (1) £ R1 , u 2 - u ( 2 ) £ R2 Þ

                                                                  (          ) (           )
           u - ( u1 + u2 ) = u (1) + u ( 2 ) - ( u1 + u2 ) = u (1) - u1 + u ( 2 ) - u2 £ u (1) - u1 + u ( 2 ) - u2 £



                                                                      11

Страницы