Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 10 стр.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


       Напомним, что из последовательности элементов компактного множества
всегда можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к некоторому
элементу этого множества.

       Пример 2. Множество O (u0 , R ) компактно. Множество O(u 0 , R ) не
является компактным, т.к. оно незамкнутое. Прямая на плоскости не
является компактным множеством, т.к. это неограниченное множество.

       Пусть U Ì R n компактное множество.

       Определение 14. Величина

                                              U = max u
                                                     uÎU



называется модулем множества U .

       В силу непрерывности функции нормы и компактности множества U
операция max в принятом определении корректна. Геометрический смысл
модуля множества таков: это есть радиус наименьшего шара с центром в начале
координат, содержащего это множество. Таким образом, U Ì O (0, U ) .

     1.3. Алгебраические линейные комбинации подмножеств R n . Пусть
A1 , L, Am Ì R n и l1 ,L , lm Î R 1 .

     Определение 15. Множество
                                 m
                                          ì     m
                                                                              ü
                            A = å li Ai = ía = å li a i a i Î Ai , i = 1, L, mý
                                i =1      î    i =1                           þ

будем называть алгебраической линейной комбинацией множеств A1 ,L , Am с
коэффициентами l1 ,L, lm .

     В частности, если A Ì R n , B = {b} Ì R n , то множество

                                        A + B = {u = a + b a Î A}

называется сдвигом множества A на вектор b .




                                                    10