Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 9 стр.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


           Определение 9. Точка u называется предельной точкой множества U ,
если в любой открытой окрестности этой точки содержится хотя бы одна
точка множества U .

           Из приведенного определения следует, что для любой предельной точки
множества U найдется последовательность точек uk ÎU , k = 1,2,L , сходящаяся к
u.

      Определение 10. Множество U Ì R n называется замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки.

           Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто. Это свойство
позволяет ввести следующее определение.

           Определение 11. Замыканием U множества U называется наименьшее
замкнутое множество, содержащее U .

           Пример 1. Множество O(0,1) не является замкнутым, так как,
                 æ1ö
                 ç ÷
                  0
например, точка çç ÷÷ Ï O (0,1) , хотя она является предельной для множества
                  L
                 ç ÷
                 ç0÷
                 è ø
O(0,1) .

           Множество                           {                         }
                                  O (u 0 , R ) = u Î R n u - u 0 £ R , u 0 Î R n , R > 0            называется

замкнутой окрестностью точки u0 радиуса R . Оно замкнуто и является
замыканием множества O(u 0 , R ) . Кроме того, справедливо

                   [          ]                                              {
                int O (u0 , R ) = O(u0 , R ) , ¶ éëO (u0 , R)ùû = S (u0 , R) = s Î R n   s = R} .

           Определение 12. Множество U Ì R n называется ограниченным, если оно
содержится в замкнутом шаре некоторого конечного радиуса.

           Определение 13. Множество U Ì R n называется компактным, если оно
замкнуто и ограничено.




                                                          9