Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
7
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
1.1. Пространство
n
R
. Рассмотрим
-
n
мерное евклидовое векторное
пространство
n
R
с элементами
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
n
u
u
u L
1
. В частности,
1
R
- числовая ось,
2
R
-
двумерная плоскость и т.д. Элементы
n
R
будем обозначать строчными буквами,
а подмножества
n
R
заглавными. При этом будем различать одноточечное
множество и точку этого множества как элемент пространства
n
R
. В первом
случае принимается запись
{
}
n
Ru Ì , а во втором -
n
Ru Î . В пространстве
n
R
определены обычные операции: сложения векторов, умножения вектора на
число и скалярное произведение векторов
1
1
11111111
,,,,,, RRvuvu
v
v
u
u
vu
u
u
u
u
vu
vu
v
v
u
u
n
n
i
ii
nnnnnnnn
ÎÎ=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
×
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
+
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
å
=
a
a
a
a
LLLLLLL
Пространство
n
R
является нормированным с нормой uuu ,= . Норма
определяет расстояние
(
)
vuvu -=,
r
между любыми двумя точками
пространства.
1.2. Точки и подмножества пространства
n
R
Определение 1. Открытой окрестностью точки
n
Ru Î
0
радиуса
R
называется множество
(
)
{
}
0,,,
000
>Î<-Î= RRuRuuRuRuO
nn
.
Множество
RuO ,
0
еще называют открытым шаром с центром в точке
0
u и радиусом
R
.
По отношению к произвольному множеству
n
RU Ì можно определить
точки следующих четырех типов: внутренние, внешние, граничные и
изолированные. 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


                1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


    1.1. Пространство R n . Рассмотрим n - мерное евклидовое векторное
                                      æ u1 ö
                                      ç ÷
пространство R n     с элементами u = ç L ÷ . В частности, R1 - числовая ось, R 2 -
                                      ç n÷
                                      èu ø
двумерная плоскость и т.д. Элементы R n будем обозначать строчными буквами,
а подмножества R n заглавными. При этом будем различать одноточечное
множество и точку этого множества как элемент пространства R n . В первом
случае принимается запись {u} Ì R n , а во втором - u Î R n . В пространстве R n
определены обычные операции: сложения векторов, умножения вектора на
число и скалярное произведение векторов
   æ u1 ö æ v1 ö æ u1 + v1 ö æ u1 ö æ a u1 ö                  æ u1 ö æ v1 ö
   ç ÷ ç ÷ ç               ÷ ç ÷ ç         ÷                  ç ÷ ç ÷ n
   ç L ÷ + ç L ÷ = ç L ÷, a ç L ÷ = ç L ÷,            u , v = ç L ÷ × ç L ÷ = å u i v i , u , v Î R n , a Î R1
   ç n÷ ç n÷ ç n         n÷  ç n÷ ç n÷                        ç n ÷ ç n ÷ i =1
   èu ø èv ø èu + v ø        è u ø èa u ø                     èu ø èv ø

    Пространство R n является нормированным с нормой u =                                        u , u . Норма

определяет     расстояние        r (u , v ) = u - v         между       любыми           двумя        точками

пространства.
    1.2. Точки и подмножества пространства R n

    Определение 1. Открытой окрестностью точки u 0 Î R n радиуса R
называется множество

                                  {                            }
                       O(u 0 , R ) = u Î R n u - u 0 < R , u 0 Î R n , R > 0 .

        Множество O(u 0 , R ) еще называют открытым шаром с центром в точке
u 0 и радиусом R .

        По отношению к произвольному множеству U Ì R n можно определить
точки    следующих      четырех        типов:             внутренние,       внешние,         граничные           и
изолированные.



                                                      7

Страницы