Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
13
Непосредственно проверяется, что для любых чисел
b
a
, и любых
множеств
n
RVU Ì, выполняются следующие свойства:
1)
(
)
(
)
UU
abba
= ;
2) UU
=
×
1 ;
3)
(
)
VUVU
aaa
+=+ .
Эти свойства являются следствием соответствующих свойств векторов из
пространства
n
R
.
Пространство подмножеств
n
R
нельзя считать линейным пространством,
хотя бы потому, что не всегда выполняется равенство
(
)
UUU
baba
+=×+ . (2)
Пример 3. Пусть
(
)
1,1,1,0 -===
ba
OU
. Тогда, с одной стороны,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2,01,01,01,1,01,01 OUUOOUOOU =+Þ=×-==×=
baba
,
а с другой -
(
)
(
)
(
)
{
}
(
)
2,001,011 OOU ¹=-=+
ba
.
Вместо равенства (2) в общем случае справедливо лишь одностороннее
вложение
(
)
UUU
baba
+Ì×+
.
Действительно, пусть
(
)
Uu ×+Î
ba
. Тогда существует
(
)
Uu Î
0
такой, что
(
(
)
0
uu
ab=+ . Отсюда следует
(
)
(
)
(
)
(
)
UUuuuu
bababa
+Î+=+=
000
.
Определение 16. Множество
{
}
UuuvRvU
n
Î<-Î= ,
e
e
называется
-
e
окрестностью множества U .
Очевидно, что
(
)
e
e
,0OUU +=
.
1.4. Расстояние Хаусдорфа. Введем понятие расстояния на множестве
компактных подмножеств пространства
n
R
.
Определение 17. Пусть
n
RVU Ì, - компактные множества. Величина
(
(
(
{
}
,min00,,0,
hUVRUVORVUOR
=³Ì+Ì+
называется расстоянием Хаусдорфа между множествами U и V . 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


      Непосредственно проверяется, что для любых чисел a , b и любых
множеств U , V Ì R n выполняются следующие свойства:
      1) a (b U ) = (ab )U ;
      2) 1 × U = U ;
      3) a (U + V ) = aU + a V .
      Эти свойства являются следствием соответствующих свойств векторов из
пространства R n .
      Пространство подмножеств R n нельзя считать линейным пространством,
хотя бы потому, что не всегда выполняется равенство
                                             (a + b ) × U = aU + bU .                            (2)
      Пример 3. Пусть U = O (0,1), a = 1, b = -1 . Тогда, с одной стороны,
         a U = 1 × O (0,1) = O (0,1), b U = (- 1) × O (0,1) = O (0,1) Þ a U + b U = O (0,2 ) ,

а с другой -
                               (a + b )U = (1 - 1)O (0,1) = {0} ¹ O (0,2) .
      Вместо равенства (2) в общем случае справедливо лишь одностороннее
вложение
                                       (a + b ) × U Ì aU + bU .
      Действительно, пусть u Î (a + b ) × U . Тогда существует u (0 ) Î U такой, что

u = (a + b ) u( ) . Отсюда следует
               0



                           u = (a + b )u (0 ) = a u (0 ) + b u (0 ) Î a U + b U .

      Определение 16. Множество U e = {v Î R n v - u < e , u Î U } называется

e - окрестностью множества U .

     Очевидно, что U e = U + O(0, e ) .
     1.4. Расстояние Хаусдорфа. Введем понятие расстояния на множестве
компактных подмножеств пространства R n .
      Определение 17. Пусть U , V Ì R n - компактные множества. Величина
                   h (U ,V ) = min {R ³ 0     U Ì V + O (0, R ) , V Ì U + O (0, R )}

называется расстоянием Хаусдорфа между множествами U и V .

                                                    13

Страницы