Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
15
Приведем примеры выпуклых множеств.
Пример 5. Замкнутая (открытая) окрестность точки
n
Ru Î
0
радиуса
R
множество
(
)
{
}
0,,,
000
³Î£-Î= RRuRuuRuRuO
nn
(
)
{
}
(
)
0,,,
000
³Î<-Î= RRuRuuRuRuO
nn
,
является выпуклым множеством. Действительно, для всех ]1,0[
Î
a
и
(
)
RuOuu ,,
021
Î (
(
)
RuOuu ,,
021
Î ) справедливо
(
)
(
)
(
)
(
)
£--+-£--+-=--+
02010201021
11)1( uuuuuuuuuuu
aaaaaa
(
)
(
)
RuOuuRRR ,)1(1
021
Î-+Þ=-+£
aaaa
,
(
(
)
(
)
(
)
(
)
12010201020
(1)11uuuuuuuuuuu
aaaaaa
+--=-+--£-+--<
(
)
(
)
120
RRRuuOuR
aaaa
<+-=Þ+-Î
).
Пример 6. Множество точек
(
)
{
}
1
,0,,,, RcRcucRuc
nn
ιÎ=Î=G
ggg
,
называемое гиперплоскостью в
n
R
, выпукло. Действительно, для всех
[
]
1,0Î
a
и
(
)
g
,,
21
cuu GÎ справедливо
(
)
(
)
(
)
gaaggaagaaaa
,)1(1,1,)1(,
212121
cuuucucuuc GÎ-+Þ=-+=-+=-+ .
Гиперплоскости
(
)
g
,cG поставим в соответствие множества
(
)
{
}
(
)
{
}
gggg
£Î=G³Î=G
-+
ucRucucRuc
nn
,,,,, ,
которые называются замкнутыми полупространствами, и множества
(
)
{
}
(
)
{
}
gggg
<Î=G>Î=G
-+
ucRucucRuc
nn
,,,,,
,
которые называются открытыми полупространствами. 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


      Приведем примеры выпуклых множеств.

      Пример 5. Замкнутая (открытая) окрестность точки u0 Î R n радиуса R
множество

                                            {                        }
                              O (u 0 , R ) = u Î R n u - u 0 £ R , u 0 Î R n , R ³ 0


                             (O(u , R ) = {u Î R
                                  0
                                                   n
                                                                     }              )
                                                       u - u0 < R , u0 Î R n , R ³ 0 ,

является выпуклым множеством. Действительно, для всех                                              a Î [0,1]   и
u1 , u 2 Î O (u 0 , R ) ( u1 , u 2 Î O (u 0 , R ) ) справедливо

        au1 + (1 - a )u 2 - u 0 = a (u1 - u 0 ) + (1 - a )(u 2 - u 0 ) £ a u1 - u 0 + (1 - a ) u 2 - u 0 £

                             £ aR + (1 - a )R = R Þ au1 + (1 - a )u 2 Î O (u 0 , R ) ,

      ( au1 + (1- a )u2 - u0 = a (u1 - u0 ) + (1- a)(u2 - u0 ) £ a u1 - u0 + (1- a) u2 - u0 <

                           < aR + (1 - a ) R = R Þ au1 + (1 - a)u2 Î O (u0 , R) ).

      Пример 6. Множество точек

                                        {                        }
                             G (c, g ) = u Î R n c, u = g , c Î R n , c ¹ 0, g Î R1 ,

называемое гиперплоскостью в R n , выпукло. Действительно, для всех a Î [0,1] и
u1 , u 2 Î G (c, g ) справедливо

     c, au1 + (1 - a )u 2 = a c, u1 + (1 - a ) c, u 2 = ag + (1 - a )g = g Þ au1 + (1 - a )u 2 Î G(c, g ) .

      Гиперплоскости G (c, g ) поставим в соответствие множества

                                  {                     }                {
                      G + (c, g ) = u Î R n c, u ³ g , G - (c, g ) = u Î R n c, u £ g ,   }
которые называются замкнутыми полупространствами, и множества

                                  {                     }                {
                      G + (c, g ) = u Î R n c, u > g , G - (c, g ) = u Î R n c, u < g ,   }
которые называются открытыми полупространствами.




                                                            15

Страницы