Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
23
Определение 24. Гиперплоскость
(
)
{
}
0
,,
n
cvRvcuc
G=Î=
называется опорной
гиперплоскостью к
множеству
U
в направлении
вектора
c
.
Дадим геометрическую
интерпретацию введенным
выше понятиям (см. рис. 3).
Гиперплоскость
(
)
c
разбивает все пространство
n
R
на два полупространства
+
E
и
-
E
. Множество
UE
-
, т.к. для всех
uU
Î
выполняется неравенство
0
,,
ucuc
£
.
Полупространство
E
-
будем называть опорным к множеству
U
в
направлении вектора
c
и обозначать символом
(
)
c
. Таким образом,
(
)
{
}
0
,,
n
cuRcuuc
P=Σ
.
В случае, когда
1
c
=
, величина
(
)
0
,,
ucUc
c
=
является расстоянием от
начала координат 0 до гиперплоскости
(
)
c
G
, взятым со знаком «+», если
-
Î E0
и со знаком «-», если
+
Î E0 .
Пример 10. Пусть множество
{
}
Uu
=
является одноточечным. Тогда
(
)
,,,
n
UvuvvR
=Î
.
Пример 11. Пусть множество
(
)
UO
является единичным шаром с
центром в нуле. Тогда
()
()
0,0,
0,1,
,,0
v
Ov
v
vvv
v
c
ì
=
ï
ï
ï
ï
=
í
ï
=¹
ï
ï
ï
î
Þ
(
)
(
)
0,1,
Ovv
c
=
.
U
(
)
Ev
-
=P
+
E
(
)
,
Uc
c
-
0
u
(
)
c
G
0
c
c
(
)
,
VcU
Рис. 3 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


      Определение 24. Гиперплоскость
                                                                        G (c) = {v Î R n v, c = u0 , c   }
   G ( c)
                                c                   c                называется                  опорной

                           u0                   0                    гиперплоскостью                         к
      U
                                                                     множеству U в направлении
      V ( c ,U )                                        -c (U , c)   вектора c .
                                                    E+                  Дадим         геометрическую
                                                E = P (v )
                                                    -
                                                                     интерпретацию           введенным
                       Рис. 3
                                                                     выше понятиям (см. рис. 3).
Гиперплоскость G (c) разбивает все пространство R n на два полупространства
E + и E - . Множество U Ì E - , т.к. для всех u Î U выполняется неравенство

                                              u, c £ u0 , c .

      Полупространство E - будем называть опорным к множеству U в
направлении вектора c и обозначать символом P (c) . Таким образом,

                                       P (c) = {u Î R n c, u £ u0 , c } .

      В случае, когда c = 1 , величина u0 , c = c (U , c ) является расстоянием от

начала координат 0 до гиперплоскости G ( c) , взятым со знаком «+», если 0 Î E -

и со знаком «-», если 0 Î E + .
      Пример 10. Пусть множество U = {u} является одноточечным. Тогда
                                        c (U , v ) = u, v , v Î R n .

      Пример 11. Пусть множество U = O (0, 1) является единичным шаром с
центром в нуле. Тогда
                                       ïìï         0,      v = 0,
                                         ïï
                   c (O (0, 1) , v ) = í v                        Þ c (O (0, 1), v) = v .
                                          ïï     , v = v , v¹0
                                           ïïî v




                                                        23

Страницы