Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 24 стр.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


                                     ïìï    æ u1 ö÷                                                ïüï
                                       ïï   çç ÷                                                     ï
      Пример 12. Пусть множество U = íu = çççL÷÷÷÷                               u1 £ 1,L, u n £ 1ïý является
                                        ïï   ç n ÷÷                                                  ïï
                                         ï   çèu ÷ø                                                   ï
                                         îï                                                           þï
квадратом с центром в нуле и со стороной 1. Тогда

                        c (U , v ) = max u, v = å max (ui v i ) =         åv
                                                      n                    n
                                                                                 i
                                                                                     , v Î Rn
                                      uÎU          i
                                                               u £1
                                                      i=1                 i =1


     1.9. Определение выпуклой функции. Примеры.
     Определение 25. Функция I : U ® R 1 , где U Ì R n - выпуклое множество,
называется выпуклой на этом множестве, если

                  I (au + (1 - a) v ) £ a I (u ) + (1 - a) I ( v) , "u, v Î U , a Î [ 0,1] .                (1)

      В случае, когда u ¹ v в (1) равенство возможно только для a = 0 и a = 1 ,
функцию I называют строго выпуклой.

                                                   По определению полагается, что если
         I (u )
                                            множество U                 одноточечное или пустое, то
                                            функция I                 выпукла на этом множестве. В
                                            случае,             когда     не         оговорено      противное,
                                            рассматриваемые функции всюду принимают
                                            конечные значения.

                                                   Геометрический                         смысл         данного
                                      u
                                            определения состоит в том, что секущая,
     Рис. 4                                 соединяющая                 любые          две      точки   графика
                                            выпуклой функции, располагается не ниже
графика этой функции (см. рис. 4).

      Определение 26. Функцию I называют вогнутой (строго вогнутой) на
выпуклом множестве U , если функция - I выпукла (строго выпукла) на
множестве U .

     Пример 13. Функция I : R n ® R 1 , определенная формулой I (u) = u , выпукла.

Действительно, при всех u, v Î R n , a Î [0,1] имеем


                                                          24