Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
25
(
)
(
)
(
)
(
)
)(1)()1(11 vIuIvuvuvuI
aaaaaaaa
-+=-+£-+=-+ .
Пример 14. Функция
1
: RRI
n
® , определенная формулой
n
RcucuI Î= ,,)( ,
выпукла. Действительно, при всех
[
]
1,0,, ÎÎ
a
n
Rvu имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(1)(,1,1,1 vIuIvcucvucvuI
aaaaaaaa
-+=-+=-+=-+ .
Аналогично проверяется выпуклость функции
I
-
. Таким образом, в
данном примере функция
I
выпукла и вогнута одновременно.
Пример 15. Функция
1
: RRI
n
®
, определенная формулой
uuuI ,)( =
,
строго выпукла. Действительно, при всех
vuRvu
n
¹Î ,,
справедливо
неравенство
vvuuvu ,,,2 +< .
Отсюда для любого
[
]
1,0Î
a
выводим
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
++-+<-+-+=-+ vvuuuuvvvuuuvuI ,,1,,1,12,1
2
2
2
aaaaaaaaa
(
)
vvvvvvvvvvuuuuuuvv ,,2,,,,,,,1
2222
2
aaaaaaaa
+-+-+-+=-+
,,,2,
uuvvvvvv
aaa
=++-=
(
)
(
)
,(1),(1),,,
n
aaaa
=+-=+-"ι
что и означает строгую выпуклость функции
I
.
Теорема 12. Пусть функция
1
: RUI ® , где
n
RU Ì - выпуклое множество,
выпукла. Тогда для любых
LL ,2,1,1,,,1,0,
1
===³Î
å
=
mmiUu
m
i
iii
aa
имеет место
неравенство (Иенсена)
()
i
m
i
ii
m
i
i
uIuI
åå
==
£
÷
ø
ö
ç
è
æ
11
aa
. (2)
Доказательство. Проведем индукцию по числу
m
. При 2
=
m
справедливость неравенства (2) есть следствие определения выпуклости 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


                  I (au + (1 - a ) v ) = au + (1 - a )v £ a u + (1 - a ) v = aI (u ) + (1 - a ) I (v) .

     Пример 14. Функция I : R n ® R 1 , определенная формулой I (u ) = c, u , c Î R n ,

выпукла. Действительно, при всех u, v Î R n , a Î [0,1] имеем

          I (au + (1 - a ) v ) = c, au + (1 - a ) v = a c, u + (1 - a ) c, v = aI (u ) + (1 - a ) I (v ) .

     Аналогично проверяется выпуклость функции - I . Таким образом, в
данном примере функция I выпукла и вогнута одновременно.

     Пример 15. Функция I : R n ® R 1 , определенная формулой I (u) = u, u ,

строго      выпукла.            Действительно,                при       всех              u, v Î R n , u ¹ v   справедливо
неравенство

                                               2 u , v < u, u + v , v .

     Отсюда для любого a Î [0,1] выводим

  I (au + (1 - a )v ) = a 2 u, u + 2a (1 - a ) u, v + (1 - a ) v, v < a 2 u, u + a (1 - a )[ u, u + v, v ] +
                                                                    2




    + (1 - a ) v, v = a 2 u , u + a u , u - a 2 u , u + a v, v - a 2 v, v + v, v - 2a v, v + a 2 v, v
              2




                                    = a u, u + a v , v + v , v - 2a v , v =

                    = a u, u + (1 - a) v, v = a I (u ) + (1 - a) I ( v ) , "u, v Î R n , u ¹ v

что и означает строгую выпуклость функции I .

     Теорема 12. Пусть функция I : U ® R 1 , где U Ì R n - выпуклое множество,
                                                                               m
выпукла. Тогда для любых u i Î U ,a i ³ 0, i = 1,L, m,                         åa
                                                                               i =1
                                                                                      i   = 1, m = 1,2,L имеет место

неравенство (Иенсена)

                                            æ m         ö m
                                          I ç å a i u i ÷ £ å a i I (u i ) .                                           (2)
                                            è i =1      ø i =1

     Доказательство.                 Проведем            индукцию                по         числу        m.    При   m=2

справедливость неравенства (2) есть следствие определения выпуклости



                                                             25

Страницы