Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
26
функции. Допустим, что неравенство Иенсена имеет место для всех
2,1
>
-
£
mmk . Примем для определенности, что 1¹
m
a
. Тогда
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
å
å
ååå
-
=
-
=
-
=
-
==
mmi
m
i
m
i
i
i
m
i
immi
m
i
ii
m
i
i
uuIuuIuI
a
a
a
aaaa
1
1
1
1
1
1
1
11
.
Обозначим
1,,1,
1
1
-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
å
-
=
mi
m
i
i
i
i
L
a
a
b
.
Легко видеть, что 1,,1,0 -=³ mi
i
L
b
и 1
1
1
=
å
-
=
m
i
i
b
. Тогда
Uuu
i
m
i
ii
m
i
m
i
i
i
Î=
÷
ø
ö
ç
è
æ
åå
å
-
=
-
=
-
=
1
1
1
1
1
1
b
a
a
.
По предположению индукции находим
()()()
)(
1
1
1
1
1
1
1
1
11
i
m
i
immi
m
i
i
m
i
immi
m
i
i
m
i
ii
m
i
i
uIuIuIuIuIuI
åååååå
=
-
=
-
=
-
=
-
==
=+
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
£+
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
£
÷
ø
ö
ç
è
æ
aabaabaa
.
Теорема доказана.
Следующая теорема позволяет свести исследование выпуклости функции
многих переменных к исследованию выпуклости функций одной переменной.
Теорема 13. Функция
1
: RUI ® , где
n
RU Ì - выпуклое множество, выпукла
тогда и только тогда, когда для любых
U
w
v
Î
,
, функция
1
]1,0[: R®
j
,
определенная формулой
(
)
]1,0[,)1()( Î-+=
eeeej
wvI ,
выпукла.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция
I
выпукла на
множестве
. Для любых
[
]
Uwv ÎÎ ,,1,0,,
21
aee
находим 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


функции. Допустим, что неравенство Иенсена имеет место для всех
k £ m - 1, m > 2 . Примем для определенности, что a m ¹ 1 . Тогда

                                                                æ           æ                   ö           ö
                                                                ç           ç                   ÷           ÷
                  æ  m
                              ö     æ m -1
                                                          ö     çæ  m -1
                                                                          öç  m -1
                                                                                        ai      ÷           ÷
                I ç å a i u i ÷ = I ç å a i u i + a m u m ÷ = I ç ç å a i ÷ ç å m -1         ui ÷ + a m u m ÷ .
                  è i =1      ø     è i =1                ø     ç è i =1 ø ç i =1 æç åa i ö÷ ÷              ÷
                                                                ç           ç                   ÷           ÷
                                                                è           è      è i = 1 ø    ø           ø

     Обозначим

                                                           ai
                                               bi =                , i = 1,L , m - 1 .
                                                        æ m -1
                                                               ö
                                                        ç åa i ÷
                                                        è i =1 ø

                                                                               m -1
     Легко видеть, что b i ³ 0, i = 1,L , m - 1 и                              åb
                                                                               i =1
                                                                                      i   = 1 . Тогда

                                               m -1
                                                         ai             m -1

                                               åæ        m -1
                                                              ö
                                                               u i = å b i u i ÎU .
                                                       ç åa i ÷
                                                i =1                 i =1

                                                       è i =1 ø

      По предположению индукции находим

    æ m         ö æ m -1 ö æ m -1             ö                  æ m -1 ö æ m -1             ö                   m
  I ç å a i u i ÷ £ ç å a i ÷ × I ç å b i u i ÷ + a m I (u m ) £ ç å a i ÷ × ç å b i I (u i )÷ + a m I (u m ) = å a i I (u i ) .
    è i =1      ø è i =1 ø è i =1             ø                  è i =1 ø è i =1             ø                  i =1



     Теорема доказана.

     Следующая теорема позволяет свести исследование выпуклости функции
многих переменных к исследованию выпуклости функций одной переменной.

     Теорема 13. Функция I : U ® R 1 , где U Ì R n - выпуклое множество, выпукла
тогда и только тогда, когда для любых v, w ÎU , функция j : [0,1] ® R 1 ,
определенная формулой

                                             j (e ) = I (ev + (1 - e ) w ), e Î [0,1] ,

выпукла.

     Доказательство.                  Необходимость.                           Пусть          функция   I     выпукла          на
множестве U . Для любых e 1 , e 2 , a Î [0,1], v, w ÎU находим


                                                                   26

Страницы