Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
28
Теорема 15. Пусть функции miRUI
i
,,1,:
1
L
=® , где
n
RU Ì - выпуклое
множество, выпуклы. Тогда функция
1
: RUI ®
, определенная формулой
{}
{
}
UuuIuI
i
mi
Î=
Î
,)(max)(
,,1
L
,
выпукла.
Доказательство. Для любых
[
]
1,0,, ÎÎ
a
Uvu имеем
(
)
(
)
{}
(
)
{
}
{}
{
}
{}
{
}
+£-+£-+=-+
ÎÎÎ
)(max)()1()(max)1(max1
,,1,,1,,1
uIvIuIvuIvuI
i
mi
ii
mi
i
mi
L
L
L
aaaaaaa
{}
{
}
)()1()()(max)1(
,,1
vIuIvI
i
mi
aaa
-+=-+
Î
L
.
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы, в частности, следует, что функция
1
: RUg ®
+
,
определенная на выпуклом множестве
n
RU Ì равенством
{
}
Uuugug Î=
+
,0),(max)(
,
где
1
: RUg ® , выпукла на множестве
U
, если на этом же множестве выпукла
функция
g
.
Теорема 16. Пусть функция
[
]
1
,: Rba ®
j
выпуклая и неубывающая, а
функция
[
]
baUg ,: ® , где множество
n
RU Ì выпуклое, выпуклая на этом
множестве. Тогда функция
1
: RUI ® , определенная равенством
(
)
UuuguI Î= ,)()(
j
,
выпукла на множестве
U
.
Доказательство. Для любых
[
]
1,0,, ÎÎ
a
Uvu
имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=-+£-+£-+=-+ vgugvgugvugvuI
jajaaajaajaa
)1()()1()(11
)()1()( vIuI
a
a
-
+
=
.
Теорема доказана. 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


      Теорема 15. Пусть функции I i : U ® R 1 , i = 1,L , m , где U Ì R n - выпуклое
множество, выпуклы. Тогда функция I : U ® R 1 , определенная формулой

                                              I (u ) = max {I i (u )}, u Î U ,
                                                            iÎ{1,L, m }



выпукла.

      Доказательство. Для любых u, v ÎU , a Î [0,1] имеем

  I (au + (1 - a ) v ) = max {I i (au + (1 - a ) v )} £ max {a I i (u ) + (1 - a ) I i ( v )} £ a max {I i (u )} +
                          iÎ{1,L, m }                                iÎ{1,L, m }                         iÎ{1,L, m }



                                    + (1 - a ) max {I i (v )} = a I (u ) + (1 - a ) I ( v ) .
                                               iÎ{1,L, m}



      Теорема доказана.

      Из доказанной теоремы, в частности, следует, что функция g + : U ® R 1 ,
определенная на выпуклом множестве U Ì R n равенством

                                              g + (u ) = max{g (u ), 0}, u ÎU ,

где g : U ® R 1 , выпукла на множестве U , если на этом же множестве выпукла
функция g .

      Теорема 16. Пусть функция j : [a, b] ® R 1 выпуклая и неубывающая, а
функция g : U ® [a, b] , где множество U Ì R n выпуклое, выпуклая на этом
множестве. Тогда функция I : U ® R 1 , определенная равенством

                                                  I (u ) = j (g (u ) ), u ÎU ,

выпукла на множестве U .

      Доказательство. Для любых u, v ÎU , a Î [0,1] имеем

  I (au + (1 - a ) v ) = j (g (au + (1 - a ) v )) £ j (a g (u ) + (1 - a ) g (v ) ) £ a j ( g (u )) + (1 - a ) j ( g ( v )) =

                                                  = a I (u ) + (1 - a ) I (v ) .

      Теорема доказана.




                                                                      28

Страницы