Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
30
В последнем неравенстве применим формулу конечного приращения для
гладких функций. Имеем
(
)
(
)
[
]
1,0,)()(,)(' Î-£--+
qaqaa
vIuIvuvuvI . (2)
Разделим неравенство (2) на 0
>
a
и устремим
a
к нулю. В результате
получим (1). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть
U
v
u
Î
,
и
[
]
]1,0Î
a
. Положим
(
)
Uvuw Î-+=
aa
a
1 . Из
(1) находим
(
)
(
)
(
)
(
)
aaaaaa
wvwIwIvIwuwIwIuI -³--³- ,')(,,')( .
Первое из этих неравенств умножим на
a
, второе на
(
)
a
-1 и сложим их
почленно. Имеем
)
)
)
)
)
)
()(1)',(1)',(1)0
IuIvIwIwuwvwIwuvw
aaaaaa
aaaaaa
+--³-+--=+--=
.
Таким образом,
(
)
(
)
vIuIwI )1()(
aa
a
-+£
, и теорема доказана.
Теорема 18. (Второй критерий выпуклости дифференцируемой функции).
Пусть
n
RU Ì - выпуклое множество, )(
1
UCI Î , тогда для выпуклости функции
I
на множестве
U
необходимо и достаточно, чтобы
UvuvuvIuI Î"³-- ,,0),(')(' . (3)
Доказательство. Необходимость. В силу выпуклости функции
I
на
множестве
U
по первому критерию выпуклости (теорема 17) следует, что
для любой пары точек
U
v
u
Î
,
справедливы неравенства
uvuIuIvIvuvIvIuI -+³-+³ ),(')()(,),(')()( .
Сложив эти неравенства, приходим к (3). Необходимость доказана.
Достаточность. По формуле конечного приращения для гладких функций
()()()
dtuutuIuIuuI
ò
DD+=-D+
1
0
,'
при всех
[
]
1,0,, ÎÎ
a
Uvu имеем 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


     В последнем неравенстве применим формулу конечного приращения для
гладких функций. Имеем

                          a I ' (v + qa (u - v ) ), u - v £ a ( I (u ) - I ( v )), q Î [0,1] .         (2)

     Разделим неравенство (2) на a > 0 и устремим a к нулю. В результате
получим (1). Необходимость доказана.

     Достаточность. Пусть u, v ÎU и a Î [0,1]] . Положим wa = au + (1 - a ) v ÎU . Из
(1) находим

                I (u ) - I (wa ) ³ I ' (wa ), u - wa ,        I (v ) - I (wa ) ³ I ' (wa ), v - wa .

     Первое из этих неравенств умножим на a , второе на (1 - a ) и сложим их
почленно. Имеем

   a I(u) +(1-a) I ( v)- I ( wa) ³ I '( wa) , a(u-wa) +(1-a) ( v-wa) = I '( wa) , au+(1-a) v-wa =0 .

     Таким образом, I (wa ) £ a I (u ) + (1 - a ) I (v ) , и теорема доказана.

     Теорема 18. (Второй критерий выпуклости дифференцируемой функции).
Пусть U Ì R n - выпуклое множество, I Î C 1 (U ) , тогда для выпуклости функции
I на множестве U необходимо и достаточно, чтобы

                              I ' (u ) - I ' (v ), u - v ³ 0, " u , v ÎU .                             (3)

     Доказательство. Необходимость. В силу выпуклости функции I на
множестве U по первому критерию выпуклости (теорема 17) следует, что
для любой пары точек u, v ÎU справедливы неравенства

                      I (u ) ³ I (v ) + I ' (v ), u - v , I (v ) ³ I (u ) + I ' (u ), v - u .

     Сложив эти неравенства, приходим к (3). Необходимость доказана.

     Достаточность. По формуле конечного приращения для гладких функций
                                                         1

                                 I (u + Du ) - I (u ) = ò I ' (u + tDu ), Du dt
                                                         0



при всех u, v ÎU , a Î [0,1] имеем

                                                         30

Страницы