Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 32 стр.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


    Теорема         19.      (Критерий             выпуклости             дважды            дифференцируемой
функции). Пусть U Ì R n выпуклое множество, I Î C 2 (U ) , тогда для выпуклости
функции I на множестве U достаточно, чтобы

                                   I ' ' (u )x , x ³ 0, " u Î U , x Î R n ,                              (8)

если int U ¹ Æ , то это условие является необходимым.

    Доказательство. Необходимость. Пусть int U ¹ Æ . Возьмем u Î int U и
x Î R n . Тогда найдется число e 0 > 0 , что u + ex Î U , если e £ e 0 . Из второго

критерия выпуклости и формулы конечного приращения для гладких функций
находим

           e I ' (u + ex ) - I ' (u ), x = e 2 I ' ' (u + qe x ) x , x ³ 0, q Î [0,1], e Î [0, e 0 ] .   (9)

    Сокращая в неравенстве (9) на e 2 > 0 и устремляя e к нулю, получим (8). В
случае, когда u ÎU \ int U , то так как выпуклое множество не может
содержать          изолированные                  точки,            найдется              последовательность
{u k }® u, u k Î intU , k = 1,2,L . По доказанному выше будет выполняться

                                      I ' ' (u k )x , x ³ 0, " u Î U , x Î R n .

    Переходя здесь к пределу при k ® ¥ , получим условие (8) и для точек
u ÎU \ int U . Необходимость доказана.

    Достаточность. Возьмем произвольные точки u, v ÎU и положим x = u - v .
По формуле конечного приращения для гладких функций из условия (8) получим

               I ' (u ) - I ' (v ), u - v = I ' ' (v + q (u - v ) ) (u - v ), u - v ³ 0, "u, v Î U .

    Таким образом, для функции I выполнен второй критерий выпуклости
дифференцируемых функций и, следовательно, она выпукла. Теорема доказана.

    Пример 16. Определить значения параметров, для которых функция
I : R 3 ® R1 , определенная равенством

                                     I ( x, y, z ) = x 2 + 2axy + by 2 + cz 2 ,


                                                         32