Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
33
будет выпуклой на всем пространстве
3
R
.
Функция
I
дважды непрерывно дифференцируема на всем пространстве
3
R
. По теореме 19 для ее выпуклости требуется положительность матрицы
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
c
ba
a
zyxI
200
022
022
),,(''
.
Вычислим ее главные миноры и выясним, при каких значениях параметров
они будут неотрицательны
()
0244
200
022
022
,044
22
22
,02
22
³-=³-=> cab
c
ba
a
ab
ba
a
.
Таким образом, искомая область изменения параметров определяется
неравенствами
0,
2
³£ cba
. Например, значения параметров 1,5,2
=
=
=
cba
этим неравенствам удовлетворяют.
1.12. Минимум выпуклой функции. Выпуклые функции представляют
собой удобные объекты исследования для анализа их значений на минимум.
Это объясняется тем обстоятельством, что выпуклые функции не могут иметь
локальных минимумов.
Теорема 20. Пусть функция
1
: RUI ® , где
n
RU Ì – выпуклое множество,
выпукла. Тогда всякая точка локального минимума функции
I
на множестве
U
одновременно является точкой ее глобального минимума на этом
множестве, причем множество
þ
ý
ü
î
í
ì
==Î=
Î
****
Uu
IuIuIUuU )(min)(
выпукло. В случае, когда функция
I
строго выпукла на
U
, множество
*
U
содержит не более одной точки.
Доказательство. Пусть
*
u точка локального минимума функции
I
на
множестве
U
. Тогда существует окрестность
(
)
e
,
*
uO точки
*
u , что 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


будет выпуклой на всем пространстве R 3 .

    Функция I дважды непрерывно дифференцируема на всем пространстве
R 3 . По теореме 19 для ее выпуклости требуется положительность матрицы

                                               æ 2      2a     0 ö
                                               ç                   ÷
                            I ' ' ( x, y, z) = ç 2a     2b     0 ÷.
                                               ç 0      0     2 c ÷ø
                                               è

    Вычислим ее главные миноры и выясним, при каких значениях параметров
они будут неотрицательны

                                                  2 2a       0
                      2 2a
            2 > 0,         = 4b - 4a 2 ³ 0,      2a 2b       0 = (4b - 4a 2 ) 2c ³ 0 .
                     2a 2b
                                                    0   0    2c

    Таким образом, искомая область изменения параметров определяется
неравенствами a 2 £ b, c ³ 0 . Например, значения параметров a = 2, b = 5, c = 1
этим неравенствам удовлетворяют.

    1.12. Минимум выпуклой функции. Выпуклые функции представляют
собой удобные объекты исследования для анализа их значений на минимум.
Это объясняется тем обстоятельством, что выпуклые функции не могут иметь
локальных минимумов.

    Теорема 20. Пусть функция I : U ® R 1 , где U Ì R n – выпуклое множество,
выпукла. Тогда всякая точка локального минимума функции I на множестве
U   одновременно является точкой ее глобального минимума на этом
множестве, причем множество

                                 ì                                   ü
                           U * = íu * ÎU I (u * ) = min I (u ) = I * ý
                                 î                       uÎU         þ

выпукло. В случае, когда функция I строго выпукла на U , множество U *
содержит не более одной точки.

    Доказательство. Пусть u* точка локального минимума функции I на
множестве U . Тогда существует окрестность O (u* , e ) точки u* , что

                                               33

Страницы