Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
34
(
)
UuOuuIuI
I
e
,),()(
**
Î"£ .
Для любого
U
u
Î
и достаточно малого
[
]
1,0Î
a
будет выполнено
ea
<-
*
uu . Тогда в силу выпуклости множества
U
имеем
(
)
(
)
(
)
UuOuuuuu
I
eaaa
,1
****
Î-+=-+ .
Из выпуклости функции
I
следует, что
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(11)(
*****
-+£-+=-+£ uIuIuuIuuuIuI
aaaaa
или
***
ÎÞÎ"£ UuUuuIuI ),()( .
Таким образом, всякий локальный минимум одновременно является
глобальным. Пусть теперь
***
ÎUvu , и
[
]
1,0Î
a
. Тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
********
=-+=-+£-+£ IIIvIuIvuII
aaaaaa
111 . (1)
Следовательно,
(
)
(
)
***
Î-+ Uvu
aa
1 , и множество
*
U выпукло. Для строго
выпуклых функций, в случае когда
**
¹ vu
, неравенство (1) не может
превратиться в равенство при
(
)
1,0Î
a
. Следовательно, строго выпуклая
функция не может достигать минимума на выпуклом множестве более чем в
одной точке. Теорема доказана.
Выведем условия, которым должна удовлетворять точка минимума,
выпуклой дифференцируемой функции.
Теорема 21. Пусть функция
1
: RUI ® , где
n
RU Ì – выпуклое множество,
выпукла и
(
)
UCI
1
Î . Тогда в любой точке
**
ÎUu выполняется неравенство
UuuuuI Î"³-
**
,0),(' , (2)
а в случае Uu intÎ
*
неравенство (2) превращается в равенство. Кроме того,
если функция
I
выпукла на множестве
U
, то условие (2) является
достаточным для того, чтобы
**
ÎUu . 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


                                     I (u * ) £ I (u ), "u Î O (u * , e ) I U .

     Для любого u ÎU               и достаточно малого a Î [0,1] будет выполнено
a u - u * < e . Тогда в силу выпуклости множества U имеем

                           u * + a (u - u * ) = au + (1 - a ) u * Î O (u * , e ) I U .

     Из выпуклости функции I следует, что

              I (u * ) £ I (u * + a (u - u * )) = I (au + (1 - a ) u * ) £ aI (u ) + (1 - a ) I (u * )

     или

                                    I (u * ) £ I (u ), " u ÎU Þ u * ÎU * .

     Таким образом, всякий локальный минимум одновременно является
глобальным. Пусть теперь u* , v * ÎU * и a Î [0,1] . Тогда

                    I * £ I (au * + (1 - a )v* ) £ aI (u * ) + (1 - a )I (v * ) = aI * + (1 - a )I * = I * .   (1)

     Следовательно, (au* + (1 - a ) v* ) ÎU * , и множество U * выпукло. Для строго
выпуклых функций, в случае когда u* ¹ v * , неравенство (1) не может
превратиться в равенство при a Î (0,1) . Следовательно, строго выпуклая
функция не может достигать минимума на выпуклом множестве более чем в
одной точке. Теорема доказана.

     Выведем условия, которым должна удовлетворять точка минимума,
выпуклой дифференцируемой функции.

     Теорема 21. Пусть функция I : U ® R 1 , где U Ì R n – выпуклое множество,
выпукла и I Î C 1 (U ) . Тогда в любой точке u* ÎU * выполняется неравенство

                                     I ' (u * ), u - u * ³ 0, " u Î U ,                                        (2)

а в случае u* Î int U неравенство (2) превращается в равенство. Кроме того,
если функция I          выпукла на множестве U , то условие (2) является
достаточным для того, чтобы u* ÎU * .




                                                        34

Страницы