Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
31
(
)
(
)
(
)
()(1)1
IuIvIuv
aaaa
+--+-=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()11()1IuIuvIvIuv
aaaaaa
éùéù
=-+-+--+-=
ëûëû
()()()()()
+------+-+=
ò
dtvuuvuutvuI
1
0
1,11'
aaaaaaa
()()()()()()
=------+-+-+
ò
dtvuvvuvtvuI
1
0
1,11'1
aaaaaaa
()()()()()()
+----+-+=
ò
dtvuvutvuI
1
0
1,11'
aaaaa
()()()()()
=--+-+-+
ò
dtuvuvtvuI
1
0
,1'1
aaaaa
()()()()()()()()
dtvuuvtvuIvutvuI
ò
--+-+---+-+-=
1
0
,1'11'1
aaaaaaaa
. (4)
Обозначим
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
uvtvuzvutvuz -+-+=--+-+=
aaaaaa
1,11
21
,
(
)
(
)
aabaabaabaab
tttt +-=-=---=-+= 1,,11,1
22211211
.
Тогда
2,1,,1,0,,
212221212111
==+³+=+= jivuzvuz
iiij
bbbbbbb
. (5)
Из (5) следует, что Uzz Î
21
, для всех
[
]
1,0, Î
a
t . Кроме того,
(
)
(
)
(
)
)(1
21
vutvutvutzz -=-+--=-
aa
. (6)
Перепишем (4) с учетом равенства (6). В результате получим
()()()()()()
dt
t
zzzIzIvuIvIuI
ò
---=-+--+
1
0
2121
1
,''11)1()(
aaaaaa
. (7)
В силу условия (3) правая часть равенства (7) не отрицательна,
неотрицательна и его левая часть. Теорема доказана. 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


                                 a I (u ) + (1 - a ) I ( v ) - I (a u + (1 - a ) v ) =

               = a éë I (u )- I (a u + (1 - a ) v )ùû + (1 - a ) éë I (v)- I (a u + (1 - a ) v )ùû =

                     1

                = a ò I ' (au + (1 - a )v + t (u - au - (1 - a )v )), u - au - (1 - a )v dt +
                     0


                         1

             + (1 - a ) ò I ' (au + (1 - a ) v + t (v - au - (1 - a ) v )), v - au - (1 - a ) v dt =
                         0


                             1

                      = a ò I ' (a u + (1 - a ) v + t (1 - a )(u - v )), (1 - a )(u - v ) dt +
                             0


                                      1
                          + (1 - a ) ò I ' (au + (1 - a ) v + ta (v - u )), a (v - u ) dt =
                                      0


                 1
    = a (1 - a ) ò I ' (au + (1 - a ) v + t (1 - a )(u - v )) - I ' (au + (1 - a ) v + ta (v - u )), u - v dt .          (4)
                 0



    Обозначим

                z1 = au + (1 - a ) v + t (1 - a )(u - v ), z 2 = au + (1 - a ) v + ta (v - u ) ,

               b 11 = a + t (1 - a ), b 12 = 1 - a - t (1 - a ), b 21 = a - ta , b 22 = 1 - a + ta .

    Тогда

                 z1 = b 11 u + b 12 v, z 2 = b 21u + b 22 v, b ij ³ 0, b i1 + b i 2 = 1, i, j = 1,2 .                    (5)

    Из (5) следует, что z1 , z 2 ÎU для всех t , a Î [0,1] . Кроме того,

                                           z1 - z 2 = t (1 - a )(u - v ) + ta (u - v ) = t (u - v) .                     (6)

    Перепишем (4) с учетом равенства (6). В результате получим
                                                                             1
                                                                                                                1
             a I (u ) + (1 - a ) I (v ) - I (au + (1 - a )v ) = a (1 - a ) ò I ' (z1 ) - I ' (z 2 ), z1 - z 2     dt .   (7)
                                                                             0
                                                                                                                t

    В силу условия (3) правая часть равенства (7) не отрицательна,
неотрицательна и его левая часть. Теорема доказана.




                                                            31

Страницы