Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
29
Следствие 1. Пусть функция
[
]
baUg ,: ® выпукла и неотрицательна на
выпуклом множестве
n
RU Ì . Тогда функция ,:
1
RUI ® определенная
равенством
(
)
,,)( UuuguI
p
Î= 1
³
p выпукла на множестве
U
.
Следствие 2. Пусть функция
[
]
baUg ,: ® выпукла на выпуклом множестве
n
RU Ì . Тогда функция
1
: RUI ® , определенная равенством
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
UuuguguI
p
p
Î==
+
,,0max , 1
³
p ,
выпукла на множестве
U
.
Следствие 3. Пусть функция
1
: RUg ® выпукла на выпуклом множестве
n
RU Ì , причем
(
)
0<ug при всех Uu
Î
. Тогда функции 2,1,:
1
=® iRUI
i
,
определенные равенствами
()
()
()()(){}
UupuguI
ug
uI
p
γ--=-= ,1,0,lnmax,
1
21
,
выпуклы на множестве U .
1.11. Критерии выпуклости гладких функций. Проверка произвольной
функции на выпуклость непосредственно по определению выпуклости обычно
сопряжена со значительными трудностями. Для гладких функций существуют
более конструктивные критерии выпуклости, упрощающие эту проверку.
Теорема 17. (Первый критерий выпуклости дифференцируемой функции).
Пусть
n
RU Ì - выпуклое множество, )(
1
UCI Î , тогда для выпуклости функции
I
на множестве
U
необходимо и достаточно, чтобы
UvuvuvIvIuI Î"-+³ ,,),(')()( . (1)
Доказательство. Необходимость. Из выпуклости функции
I
на
множестве
U
для всех
U
v
Î
,
и
[
]
1,0Î
a
следует справедливость цепочки
неравенств
(
)
(
)
(
)
Þ-+£-+Þ-+£-+ )()()()()()1()()1( vIuIvIvuvIvIuIvuI
aaaaaa
(
)
(
)
)()()()( vIuIvIvuvI -£--+
aa
. 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


     Следствие 1. Пусть функция g : U ® [a, b] выпукла и неотрицательна на
выпуклом      множестве               U Ì Rn .       Тогда        функция            I : U ® R 1 , определенная

равенством I (u ) = g p (u ), u Î U , p ³ 1 выпукла на множестве U .

     Следствие 2. Пусть функция g : U ® [a, b] выпукла на выпуклом множестве
U Ì R n . Тогда функция I : U ® R1 , определенная равенством

                                                           (       )
                           I (u ) = (max{0, g (u )}) = g + (u ) , u Î U , p ³ 1 ,
                                                      p                p




выпукла на множестве U .

      Следствие 3. Пусть функция g : U ® R1 выпукла на выпуклом множестве
U Ì R n , причем       g (u ) < 0      при всех u Î U . Тогда функции I i : U ® R 1 , i = 1,2 ,
определенные равенствами

                                     1
                     I1 (u ) = -          , I 2 (u ) = max{- ln (- g (u )), 0} , p ³ 1, u Î U ,
                                                                              p

                                   g (u )

выпуклы на множестве U .

     1.11. Критерии выпуклости гладких функций. Проверка произвольной
функции на выпуклость непосредственно по определению выпуклости обычно
сопряжена со значительными трудностями. Для гладких функций существуют
более конструктивные критерии выпуклости, упрощающие эту проверку.

     Теорема 17. (Первый критерий выпуклости дифференцируемой функции).
Пусть U Ì R n - выпуклое множество, I Î C 1 (U ) , тогда для выпуклости функции
I на множестве U необходимо и достаточно, чтобы

                                         I (u ) ³ I (v ) + I ' (v ), u - v , " u, v ÎU .                            (1)

     Доказательство.               Необходимость.               Из         выпуклости        функции           I    на
множестве U для всех u, v ÎU и a Î [0,1] следует справедливость цепочки
неравенств

          I (au + (1 - a )v ) £ aI (u ) + (1 - a ) I (v ) Þ I (v + a (u - v ) ) £ I (v ) + a (I (u ) - I (v ) ) Þ

                                       I (v + a (u - v)) - I (v) £ a (I (u ) - I (v)) .


                                                          29

Страницы