Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
27
(
)
(
)
(
)
(
)
=---+-+=-+ wvI
212121
)1(1)1()1(
eaaeeaaeeaaej
(
)
=+--+-+= wwwwvvvI
221221
eaeaeaeeae
(
)
=-++--+-+= wwwwwwvvvI
aaeaeaeaeeae
221221
(
)
(
)
(
)
(
)
=-+-+-+-+= wwvwwvI
aaeaeaeaae
111
2211
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
£-+-+-+=+--+-+= wvwvIwwvwwvI
22112211
1111
eeaeeaeeaeea
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=-+-+-+£ wvIwvI
2211
111
eeaeea
(
)
)(1)(
21
ejaeaj
-+= .
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть для любой пары точек из множества
U
функция
j
выпукла. Тогда для всех
[
]
1,0,,
21
ÎÎ
a
Uuu имеем
(
)
=-+
21
)1( uuI
aa
(
)
(
)
(
)
(
)
)(1)()0(1)1(0)11(
21
uIuI
aajaajaajaj
-+=-+£×-+×= .
Теорема доказана.
1.10. Действия с выпуклыми функциями. Рассмотрим некоторые
операции над выпуклыми функциями, сохраняющие их выпуклость.
Теорема 14. Пусть функции
1
: RUI
i
® , где
n
RU Ì - выпуклое множество,
выпуклы, и mi
i
,,1,0
L
=³
l
. Тогда функция
1
: RUI ® , определенная формулой
UuuIuI
i
m
i
i
Î=
å
=
),()(
1
l
,
выпукла.
Доказательство. Для любых
[
]
1,0,, ÎÎ
a
Uvu имеем
()()()()
[]
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=-+£-+=-+
ååå
===
m
i
iiii
m
i
ii
m
i
i
uIvIuIvuIvuI
111
)()(1)()1(1
laaalaalaa
()()()
)(1)(1
1
vIuIvI
m
i
ii
aala
-+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
å
=
.
Теорема доказана. 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


                   j (ae 1 + (1 - a ) e 2 ) = I ((ae 1 + (1 - a )e 2 ) v + (1 - ae 1 - (1 - a ) e 2 ) w) =

                               = I (ae 1 v + e 2 v - ae 2 v + w - ae 1 w - e 2 w + a e 2 w) =

                       = I (ae 1v + e 2 v - ae 2 v + w - ae 1 w - e 2 w + a e 2 w + aw - aw ) =

                         = I (ae 1v + aw - ae 1 w + e 2 v(1 - a ) + e 2 w(a - 1) + (1 - a )w ) =

  = I (a (e 1v + w - e 1 w) + (1 - a )(e 2 v - e 2 w + w)) = I (a (e 1v + (1 - e 1 ) w) + (1 - a ) (e 2 v + (1 - e 2 ) w)) £

               £ aI (e 1v + (1 - e 1 ) w ) + (1 - a ) I (e 2 v + (1 - e 2 ) w) = = aj (e 1 ) + (1 - a )j (e 2 ) .

      Необходимость доказана.

      Достаточность. Пусть для любой пары точек из множества U функция j
выпукла. Тогда для всех u1 , u 2 ÎU , a Î [0,1] имеем

   I (au1 + (1 - a )u 2 ) = j (a ) = j (a × 1 + (1 - a ) × 0 ) £ aj (1) + (1 - a )j (0) = aI (u1 ) + (1 - a ) I (u 2 ) .

      Теорема доказана.

      1.10. Действия с выпуклыми функциями. Рассмотрим некоторые
операции над выпуклыми функциями, сохраняющие их выпуклость.

      Теорема 14. Пусть функции I i : U ® R 1 , где U Ì R n - выпуклое множество,
выпуклы, и li ³ 0, i = 1, L , m . Тогда функция I : U ® R 1 , определенная формулой

                                                         m
                                               I (u ) = å li I i (u ), u ÎU ,
                                                         i =1



выпукла.

      Доказательство. Для любых u, v ÎU , a Î [0,1] имеем

                            m                             m
                                                                                                   æ m             ö
    I (au + (1 - a ) v ) = å li I i (au + (1 - a ) v ) £ å li [a I i (u ) + (1 - a ) I i (v )] = a ç å li I i (u ) ÷ +
                           i =1                          i =1                                      è i =1          ø

                                             æ m             ö
                                  + (1 - a ) ç å li I i (v ) ÷ = aI (u ) + (1 - a ) I (v ) .
                                             è i =1          ø

      Теорема доказана.




                                                                27

Страницы