Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
37
(
)
(
)
,,,
cvucvvuU
³"Î
,
если при этом UvÏ , то
(
)
(
)
(
)
2
,,,
cvucvvcvuU
³+"Î
.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай UvÏ . Множество U
замкнуто и выпукло. Тогда согласно теореме 22 существует проекция
UvPw
U
Î= )( точки
v
на множество U , причем
Uuwuvw Î"³-- ,0,
.
Заметим, что 0
¹
vw , так как Uv Ï . Положим
(
)
cvwv
=-
. Тогда с
учетом последнего неравенства находим
(
)
(
)
2
,,,,
cvuvwvuwwvwvcvuU
-=--+--³"Î
и для рассматриваемого случая теорема доказана.
Пусть теперь Uv Î . Тогда
(
)
Uv Î и существует последовательность
{
}
L
,2,1,, =Ï® kUvvv
kk
. Для каждого номера
L
,2,1
=
k по доказанному выше
существует вектор
(
)
0
k
cv
¹
такой, что
(
)
(
)
,,,
kkk
cvucvvuU
>"Î
. (1)
Можно считать, что
(
)
1,1,2
k
cvk
==
L
. Если
бы это было не так, то обе части неравенства (1)
следовало бы поделить на величину
(
)
0,
k
cv
>
L
,2,1
=
k .Переходя, если это необходимо, к
подпоследовательности, принимаем, что
(
)
{
}
(
)
k
cv
с v
®
. При этом
(
)
10
с v
=¹
. В неравенстве
(1) устремим k в бесконечность. В пределе получим
требуемое соотношение. Теорема доказана.
(
)
cV
(
)
vG
c
U
Рис.
6 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


                                   c ( v ), u ³ c (v ) , v , " u Î U ,

     если при этом v ÏU , то

                              c ( v ) , u ³ c (v ) , v + c (v ) , " u Î U .
                                                                2




     Доказательство. Сначала рассмотрим случай v ÏU . Множество U
замкнуто и выпукло. Тогда согласно теореме 22 существует проекция
w = PU (v ) ÎU точки v на множество U , причем

                                       w - v, u - w ³ 0, "u ÎU .

     Заметим, что w - v ¹ 0 , так как v ÏU . Положим c ( v ) = w - v . Тогда с

учетом последнего неравенства находим

               c (v ) , u - v = w - v , u - w + w - v , w - v ³ c ( v ) , " u Î U
                                                                              2




и для рассматриваемого случая теорема доказана.

     Пусть теперь v ÎU . Тогда v Î ¶ (U ) и существует последовательность
{v k } ® v, v k ÏU , k = 1,2,L . Для каждого номера             k = 1,2, L по доказанному выше

существует вектор c ( vk ) ¹ 0 такой, что

                              c ( vk ) , u > c ( vk ) , vk , " u Î U .                              (1)

                                         Можно считать, что c ( vk ) = 1, k = 1, 2L . Если

                                   бы это было не так, то обе части неравенства (1)
             V (c )                следовало бы поделить на величину                        c (vk ) > 0,
                      c
                                    k = 1,2, L .Переходя,           если     это    необходимо,       к

           U              G (v )   подпоследовательности,                     принимаем,           что
                                   {c (vk )} ® с (v ) . При этом         с (v ) = 1 ¹ 0 . В неравенстве

         Рис.6                     (1) устремим k в бесконечность. В пределе получим
                                   требуемое соотношение. Теорема доказана.




                                                    37

Страницы